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三坐標測量減少了人為的測量誤差，但也限制了測量者的創造性，如果了解三坐標測量的原理，可以在特殊情況下準確設計測量方法，快速分析測量問題。另外對于三坐標測量原理的理解也可以加深GD&T的理解，能夠合理圖紙設計，在設計階段就能夠滿足測量的可行性，降低了設計成本，提高了設計能力。

三坐標如何測量誤差？

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圖1：為了便于解釋CMM測量的原理，案例使用了2D圖顯示，3D空間是一樣的算法。

圖中n代表數模的表面，一個理論曲面；相對應的是零件的實際加工表面a；理論曲面a和實際加工表面a存在偏差，這個偏差即是上下偏差+t和-t；測量的目的就是確定實際表面a和理論表面n之間的距離，即零件的偏差。

去確定這個偏差，還要定義兩個坐標系，一個是三坐標的固有坐標系MCS（OXY），另一個是零件的固有坐標系PCS（OX1Y1），三坐標的軟件都有補償這兩個坐標系偏差的算法。

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圖2：測量細節

測量時使用三坐標的寶石球探針接觸選定測量的點Pn，并且沿著Pn點表面的垂直矢量方向（面的垂直方向）接觸零件，那么探針將接觸到零件的實際表面a上的實際測量點Pa。因為探針寶石球的中心亦沿著矢量v移動，根據已知寶石球的半徑，理論點Pn和實際零件測量點Pa之間的距離就可以求出d，也就是Pa點的偏差d可以通過這種簡單方式求出。因為d是沿著矢量v的方向，如果將d沿著PCS的X1和Y1軸分解，可以分別得到這個零件沿著零件坐標系（由零件基準建立）的偏差Δx和Δy，并且可以看出曲面上的點的偏差是垂直表面的方向偏差。

因為三坐標能夠自動計算零件表面的矢量，這些過程三坐標軟件內部可以自動完成，測量報告會自動計算出偏差d,分量Δx和Δy。

因此矢量就很重要，矢量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、向量）。向量其實就是帶箭頭的線段，具有長度和方向，一個曲面的單位向量通常使用i，j，k表示。

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圖3：投影公差

在實際測量中，探針不能保證實際接觸點Pa處于理論Pn點的向量v上，實際接觸點有可能是Pa1和Pa2兩種情況。這種情況下，三坐標軟件的計算方法是將向量投影到向量v上，使用到了向量投影的算法：

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以上公式，向量v由三坐標軟件通過數模計算得出，被測點Pa的實際坐標也可以由測頭給出，而Pn是設定已知值，所以可以得出最后的投影值|PnP2|，即我們想得到的此點的偏差，可以知道θ2在材料外部時，θ2＜90°，cosθ2＞0，結果為正公差；當Pa1在材料內部時，θ1＞90°，cosθ1＜0，結果為負公差。這個算法也是輪廓度定義時材料內部為負，材料外部為正公差的由來。

因為Pn是理論值，Pa是測量值，那么測量的精度可以看到主要來自于向量v的精度。當然還有其它很多的誤差影響，比如Pa的測量也不準確，三坐標軟件通常需要補償測量的誤差。

對于v的值，目前我們給的方法是使用數模，由于AI深度學習的應用，目前的測量技術發展很快，三坐標已經可以通過分析已經收集數據，在沒有數模的情況下，較準確的給出未知測量表面上的垂直矢量，可接觸測量也實現了對于柔性零件的測量。

那么投影到Pn點的切線方向的誤差呢？

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圖4：切向方向的誤差

因為零件表面總是同理論表面有偏差，另外設備即是知道矢量方向，也不可能準確的沿矢量方向路徑移動。所以必然會錯過理論點Pn，并且同時錯過對應的實際點Pa。當測頭沿著預定的第一次路徑移動，測頭中心同矢量v重合，即得到測頭圓弧同矢量v的交點，即理論Pn點。但是此時仍然沒有接觸到零件表面，因此會繼續沿著第一次測量路徑運動，直到接觸零件表面Pa1點，明細這個接觸點不是我們期望Pn對應的Pa點，我們不能簡單的通過Pn-Pa的公式取計算零件偏差。在測量過程中實際上也無法找到Pa，我們只能盡量接近Pa，這時候Pn點的切向方向就可以用來修正這種誤差，也就是矢量v的垂直方向部分。剛才我們計算了接觸點的投影作為測量偏差，這個偏差能夠有說服力作為測量偏差之前，測量設備還要評價實際測量點是否足夠接近測量點Pa, 就是實際測量點在此點的切向投影，這個值設置為e1,那么e1應該是多少？

不同的三坐標公司的標準不同，通常這個值e = (﹢t-（-t））/2。

也就是當e1<=e時，測量值符合要求；

當e1>e時，測量需要沿著路徑二繼續測量，三坐標經過一次調整，重新得到接觸點Pa2，迭代運行，直到e2<=e。此時的Pa2投影到v向量上的da2輸出作為合理的測量結果。

如果繼續探討，da2測量值是在MCS坐標系下的結果，MCS和PCS不可能絕對重合，所以還需要在OXY和OX1Y1兩個坐標系上進行補償，PCS通常是通過零件上的基準建立，進一步來說，如果零件安裝在檢具上，那么又引入了第三個檢具的坐標系。所以三坐標廠家的測量誤差補償的策略就很重要，這也是不同廠家三坐標會產生測量不對標的情況。

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