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標(biāo)題: 請(qǐng)教一四點(diǎn)支撐平臺(tái)各支點(diǎn)承重量計(jì)算的問題 [打印本頁(yè)]
作者: easylife    時(shí)間: 2009-9-28 15:22
標(biāo)題: 請(qǐng)教一四點(diǎn)支撐平臺(tái)各支點(diǎn)承重量計(jì)算的問題
如下面的俯視圖，
/ J5 j' s1 s" C( S# E+ I4 V$ [4 k3 q% W8 ]& c; M% b, Y
平臺(tái)為一剛性水平臺(tái)，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐。工作臺(tái)重心為圖中W點(diǎn)。總質(zhì)量為W.
7 K! ]& {$ S+ w幾何尺寸如圖中所示.& B4 W% Y8 M0 h' s4 ]
請(qǐng)問怎樣計(jì)算各個(gè)支撐件P1,P2,P3,P4的受力大小？
' }  C& k+ J9 f: h' i7 X$ F2 B( d# q! {  A9 C$ p1 p- m( ]7 `9 W: C
[attach]148123[/attach]
作者: 李贛    時(shí)間: 2009-9-28 15:51
1、受力
/ H2 b; w. q% z& ~4 Y2 X2、力矩
7 m, B) p2 L7 M9 ^平衡
作者: easylife    時(shí)間: 2009-9-28 15:55
1、受力! Y' ^8 q" ~& r
2、力矩6 I2 g; ^) d) w
平衡
! c$ c. o! B5 j; F* F+ Qlit_hiker 發(fā)表于 2009-9-28 15:51

) W) O" n  b9 h) q, i3 v2 o* O# W3 ]) I8 N$ d0 L3 M2 D# ~6 C; r
不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細(xì)講下么？! [9 T6 O( [2 @$ v: x
謝謝
作者: 小白菜    時(shí)間: 2009-9-28 16:35
可以先把同一側(cè)的兩點(diǎn)當(dāng)成一點(diǎn)，算出來(lái)后再把合成一點(diǎn)的兩點(diǎn)的力再算一次，高中的同向平行力。
作者: 李贛    時(shí)間: 2009-9-28 18:07
把旋轉(zhuǎn)軸設(shè)定在兩個(gè)支點(diǎn)上，這兩點(diǎn)的力的力臂為零。
作者: 草原蒙狼    時(shí)間: 2009-9-28 19:24
樓主需要補(bǔ)補(bǔ)課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁
: |- o1 B/ t: K% T* |; L. n
) g; ]7 e: |; N5 O請(qǐng)看下面  力學(xué)教材
# s3 i) l% b0 p& t/ z7 k$ L. ]" I
2.1 平面匯交力系
4 D1 @! @: w5 J9 G8 |# o, G, n( x  r2 a5 X" o( P4 E# o% ?
平面匯交力系的工程實(shí)例：5 }3 E( G: M/ m2 o& Z
+ E6 W% w1 X3 @/ U: b1 T3 O

6 m* b! K5 G6 s3 A9 r: X" d; c  U+ o# w2 B4 B0 z
2.1.1 力的分解
; i; m+ B6 J3 H9 c  L+ T% F. m- E& p& o1 z9 K2 c
按照平行四邊形法則，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力，可以合成為一個(gè)合力，解是唯一的；
' O* b' ^2 z( D+ L
3 a5 T1 N& y1 |/ W  }. L/ ?但反過來(lái)，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力，如無(wú)足夠的條件限制，其解將是不定的。
# o4 j4 m; W$ ?' w1 X
& ~% M. T) F) n+ |5 m/ {2.1.2 力在坐標(biāo)軸上的投影7 }. T; u7 C" y* B, y% H

' y1 S. X, B4 A$ v& H8 e( I ' z8 d  u+ s* }8 h5 u* U( a
, ]8 s$ k0 d2 G" x6 f; B% |, V
6 h. O  d; X" R9 W  Z) _; P
注意:力的投影是代數(shù)量，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負(fù)值。% x9 ~0 l* ]! G
% J  F6 x# M2 p3 G& K
3 `' A/ \/ u  ~5 r7 u

; y0 V; M2 i/ X& }2.1.3合力投影定理
" H3 F1 s+ n; j3 D% ~  C; b3 f- L* V( c& ^! x+ V$ f
# b, y" e# a% i& ]2 ~( L$ W; \# @1 G

9 Y7 \5 A1 B% p! e/ T& L# c3 W# E- P7 V- ~
& X1 L/ T: ~* Z
4 N. @# v+ X; x' S+ m

6 m1 z( n; `! _9 U% W% p ( p) y% N' j1 g8 H8 O
+ K* K4 G7 b5 e6 P# U7 f
合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。& \: [0 Z7 b9 [4 `3 E' T' T( l
* p7 @0 C5 `  ^6 Z% s3 K9 z
2.1.4 平面匯交力系的平衡條件 & T2 W( t% w2 h- S4 O% M  W8 n4 N
9 ~  E; a4 h7 Q1 |2 z
平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，即平面匯交力系可用其合力來(lái)代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
( U0 |* d' y& s" c% w$ ^4 `
; i) ~+ I9 G1 f& \# g$ D8 h* z
0 B4 \# a  K: I, h5 U8 i; m% X7 v
( F+ U3 u9 K& \即
0 p% N/ P  O, P) T9 Z1 x
! u: G4 N9 l7 w0 M' G- x* O$ N7 G7 Z* y
  W: Z3 f+ E) V; o' N3 q& \3 x6 S
* |4 g' B7 g1 o" Y  B; q- y; `# |, q1 {# L( I( Z7 c/ [5 O; \
力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。
( T& a# \! W( `& @8 H  \/ k# i* D8 U- |/ y! U: {9 i! q7 \
例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）- I) K. B" T1 U9 x3 [, }

8 k4 L' D+ r/ n( ^# \1 } 9 v5 ^5 q* W4 l6 v/ D0 H/ ^
  Q* G& V, R# i3 n
例2-2 圖示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。
: s' i. x: B/ N
  H% V. I; M2 ] . P/ E2 r2 \* V! m, Y8 g) L

2 n. J1 ]2 {3 X, M/ ^! R解 因?yàn)闂UAB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對(duì)滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對(duì)象，作出它的受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
( I' @# V9 T4 ?) M4 X# {" z3 U2 V" O) {) {0 K
. G- l( h# z) y) {* Z; l, a% v* x
4 m# a' Y2 g# ]+ F1 u
解靜力學(xué)平衡問題的一般方法和步驟：
. _7 n3 V2 b: D" |# Z) c! L
3 X, Q( R1 B( m4 i# \! H1.選擇研究對(duì)象 所選研究對(duì)象應(yīng)與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關(guān)系，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力；
7 A, W& d) t3 w  B. `0 }* u5 I" ~) B% G7 ~7 H* o
2.畫受力圖 根據(jù)研究對(duì)象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖。& Q: t9 z' K& {8 t/ B

  g1 }# w- c' \. f2 N9 g3.建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標(biāo)系時(shí)，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直。/ \2 o% W5 f; J
& k' B2 D. g; f# D) X; v
在根據(jù)平衡條件列平衡方程時(shí)，要注意各力投影的正負(fù)號(hào)。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí)，說(shuō)明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反。
. y9 ?. U/ ~" l# l& ~
' Y( A" O6 e! a6 X2.2 力矩與平面力偶系
8 t& u: F1 p; r+ V9 `4 O$ q
: S  }3 l8 v3 p% q" ~4 B) I: f0 [2.2.1 力對(duì)點(diǎn)之矩?(簡(jiǎn)稱為力矩); z2 t3 R* u- s3 q- ?

2 ~* _6 h3 r. B* c8 _- `1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念 ! \+ Z$ _. O% M: p+ B( K6 n4 i
# Q" H! N+ L# u/ n3 f% V
為了描述力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，引入力對(duì)點(diǎn)之矩的概念。7 M/ B6 ?/ @5 p7 L

! {. e9 |$ n  e8 B6 C
+ Z8 V' B- B8 I
3 H$ a+ i3 N: ~1 l4 c力對(duì)點(diǎn)之矩用Mo（F）來(lái)表示，即 Mo(F) = ± Fd" i$ V( l6 X4 m' u. Q

; l% A# m5 A. Y& E5 C1 C6 O一般地，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
5 L% A: x7 u, l- D% U* |. r6 Z! B- i5 M& I8 y. D. _/ v
$ z) ?4 B5 Y" y5 @4 s- T
4 L: M* T+ G$ C- S" W" G
Mo( F ) = ± 2△OAB
! k4 D/ ^5 J5 [
  S  `3 q% y6 c! a+ A力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。
& T* w# V( }6 n5 E
2 V+ @$ s" T* M3 V. L! d5 p7 i$ P- [矩心不同，力矩不同。 % S# \9 ?3 y) k5 S7 r
3 p  `4 K" j7 {
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。
5 D2 e$ @2 K, o5 {) W9 ]0 |5 [) W- W6 n5 S+ j( \: h) c, c
力矩的單位是Nmm。8 P; t. M; Q$ K9 ^+ b

3 }# r# u* I* i由力矩的定義可知：
0 Y' {5 N* w( m" M' A: [
: k! j: L+ y  x（1）若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮　⒎较蚝土Ρ鄱紱]有改變，所以不會(huì)改變?cè)摿?duì)某一矩心的力矩。+ q+ e5 Z3 }0 L% F# B7 [

9 a' |9 N. @, a- `5 U（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過O點(diǎn)。 8 e* k! S5 R% A5 z1 g: n- \
) j/ N: @0 [+ y0 N
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
$ }8 K7 V  {7 r  s) R' N0 ^/ K* o! H. z/ N6 r
2.合力矩定理/ J# ?! _: {% n; ]

# c6 ?3 c5 x/ a" B$ H: u7 N* v設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。0 g2 M; M6 I8 d' r5 @

( u, C  P" U9 S$ I8 @7 x$ y- G  |: S
+ |' B+ {/ M* w7 r0 W
. `& E( @, G2 Y3 U8 ^3 I, x. \計(jì)算力系中各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩，令OA=l，則  d2 r) R" z4 i; {& T% l6 p  Y1 R

( z0 v0 Z  e+ o' ^4 k4 e; C" B! PMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
3 h$ @: b. b! g& i, P3 I
" X8 M& }9 a0 Q& ^9 PMo(F2)=F2yl2 v7 j2 y* H. n# j0 o, a0 Q
5 |2 D9 \  p& J# s
Mo(Fn)=Fnyl) z6 s% }  X1 H! _) W4 m* E

- o  d' f! f7 V# b+ Y由上圖可以看出，合力F對(duì)O點(diǎn)的矩為- Z  P2 {5 _1 ]$ C# d

, Q# N& N, D8 W9 nMo(F)=Fd=Flsina=Fyl% U5 v2 S" `3 F+ [+ L) _) F1 i8 {

+ I! V2 F2 x' p據(jù)合力投影定理，有
& x2 O% n3 A7 J3 |+ D+ H8 L
% ~3 e4 H! p  k. ?Fy=F1y+F2y+---+Fny
# q5 U: e4 Q  [
4 ]- L. f7 }7 ~4 NFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl- v; N8 y2 w8 w& ]% X) Z
* b0 j! h1 E; g
即
! ?7 v$ U! P% X2 U
" k7 ~7 k4 b) T$ p: @Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)# G- y* ]( K% @& W
! m4 P; [6 E( ]
, C  d% S' B' n% S: b# F

1 F8 w  O: h/ `1 o合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
4 j6 [% Z7 X' ~0 [7 b0 E4 S3 X  t5 l9 O
3.力對(duì)點(diǎn)之矩的求法(力矩的求法)( z) ]' ~. ]. U, H
* H0 y* p1 I4 ?$ f3 F9 u" {
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。 1 I" C: S# I% D

; ~% \) Z8 x3 k$ M* A注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?
2 }2 k3 N5 p+ Q7 \( p
" V5 ]$ E7 K) w3 b" M: O$ m（2）運(yùn)用合力矩定理求力矩。力分解
4 i) J3 ]+ Q, c' q/ E' D- j- i' S
3 L* x1 N# }0 h) S  R1 Y% }例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。
" b& F+ k# E# Z8 H4 q, Q' L6 }, K8 W

: o6 d$ `* ^! r! ~. ?( }6 i1 O- S: d. s; a
解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解   X2 J4 k  N+ E8 ?

" Q' i6 w# r6 z/ R/ n9 i  P 1 U$ J; a0 ?! B: z# t

2 j" @7 T# h7 J4 r" B& n如圖，過點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa 。再過B點(diǎn)作力作用線的平行線，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則有
& X6 Z- ^: {! [0 o/ K* L1 y4 b
( ^# A9 Q3 p$ f5 w ( x" b- Z! t) M# E

& a8 X" X3 g6 Y1 \3 G（2）利用合力矩定理求解 * e! ]8 a+ u0 X

8 F' R: O9 P8 e9 _將力F分解成一對(duì)正交的分力
/ k) H! f3 e% }+ J! Z( r) }& D( j- U% r7 f5 F
' r! d$ w- \' I9 M/ ]* G2 P

3 ~7 l* R" Y1 R' y# B! S% I+ v力F的力矩就是這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù)。即
. H4 }% t: T5 s# j
5 _' i( Z4 @! b7 YMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)0 t) K/ ]  y$ q- a9 l# t

0 e% w! i* N" c4 h2.2.2力偶及其性質(zhì)0 F' g: @% Q6 g. U+ C4 ?

3 v4 `& u' F7 m, d: ^0 n! S1.力偶的定義
$ h- N$ K" j5 n, A4 K6 i; z  o0 `1 ^- ^7 b9 b9 S" ^# I
在工程實(shí)踐中常見物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等。
. {; L! E: g3 v+ H3 I" M% E0 D7 U2 u- X1 d6 ?4 _

+ N: Q1 I- k) u' M8 s: t6 M# ~9 P! Y5 ~+ M" u( W
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F(xiàn)')! z4 b) K- t1 B- y' \; y7 X

  `( k6 M% \6 S5 s8 L  \; c6 H0 |力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面4 w5 @7 `2 ]- ~# V$ F/ _1 Q
. \1 [" {5 b$ v; A: ~' I0 u- f
力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d
- Q; S* `8 P! D! b- [6 F) g# {* s+ I: V
力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向
  `# q* v3 y7 q2 {* ]
3 O  U' P8 X; R* f力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。怎樣度量？
' X6 h8 r% n, |3 `) j+ |3 O. q# s. ^8 @8 o: b! n8 I( W
力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力對(duì)點(diǎn)的矩度量。* U8 J4 j8 x- B6 t7 @' X

) E2 _5 ], @  I- w$ L; k6 {' E設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對(duì)任一點(diǎn)O的矩為
# \+ N( m7 y9 I' \
( m1 N, q- t& Y0 o  C  ~$ A
1 F1 J9 h, D* C) c1 k* t- h# g/ J. C; I; B1 b0 Q! P9 G
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd   S( F& {6 L2 D+ A
+ t3 m- r( W7 ]1 \/ ?% T; A' y0 }" Y
由于點(diǎn)O是任意選取的，故力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無(wú)關(guān)）0 S2 e$ ~0 p% a# j0 Z/ o3 i% o
: j4 x( x% G. O! w0 z
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M, G6 z2 v! y$ f3 T% C0 R, M

5 y8 X7 J) |! ^. FM(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。
/ Q1 L( x: r6 E  M; ^4 k; ^5 z3 s0 _' ?5 y& ~
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。# ~' t' f5 M! o! P

5 C" H$ m* _: w/ LMo(F) = ± Fd
& h5 l' t+ q9 B; B1 K
, I& Y6 u7 n/ d- h% R$ @$ y力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面7 F" M! C9 H/ s8 C+ z

* K  P5 d& ]) f2.力偶的性質(zhì) / I9 o6 m. S0 w, S& `

2 N8 @" }& l! G/ X（1）力偶無(wú)合力。
$ U5 z8 E; c8 C+ V, _9 o3 z  P) R1 p; h# ?2 @9 r, {4 _" `+ q8 w
力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。
0 e1 N5 R5 \4 G" B7 l" O" C/ I' E2 M$ g0 o2 Q$ c, ]$ v$ `
可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量。
: G# `; r0 z4 a5 o( @# P: J
% d6 K, L% e7 f5 c1 n（2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩。
- Y* ^, N- W& U" r0 m  _8 |( G+ P
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。
1 l# ^- A& V( B5 H. r8 n9 b
: s0 i  ^) N0 k. k力偶的等效條件：
* P( e4 z3 D, \  O5 G- M9 q9 w9 p+ U0 J4 l/ T$ w3 Y3 ]* K
1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的作用。即力偶對(duì)物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。3 i1 |4 Z8 B0 N, V0 m

# d* i! {! r* @2 n# c2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用。
" d* x; T- ]$ ^3 y" U0 w1 F1 n
+ S5 x! h/ L8 L5 N4 {* |, L2.2.3平面力偶系的合成與平衡
6 H* P! e1 ~3 a7 R. u7 Y/ @2 a7 H- i. u. I8 h# r( Q  u  H2 K
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。! r4 u+ J+ a  R1 R+ g) ~8 }9 s$ `/ o

/ Y2 D  u6 x0 V; Q- V; Y1.平面力偶系的合成 * K" S1 u, G# |0 g
8 U  |; C& r9 ^# d$ k$ [
例 兩個(gè)力偶的合成, D! o5 D: B; ~6 j, u

+ q- \" J1 Z) b: _3 b/ T
3 o/ S" S* J8 ?! S  wM=M1+M2+---+Mn/ V6 k% Q! J/ s) V

/ c. i' L" d/ G- F9 D% m+ l' H$ b1 F
————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和% R/ L% g, u0 S9 _0 I6 x

. M- M; g$ U3 t0 X* m2.平面力偶系的平衡& s9 m( }8 p9 k
9 j1 ]  Y2 f% m8 N) d8 D
平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，
. E2 r+ s8 `0 E+ s0 Y
- V: k9 L& u; D5 [例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長(zhǎng)l=5m ，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。
2 t" A* W+ i( k5 K0 d* @9 ~- x) ~9 ^, f

9 i7 d5 k" z  V; W
# C, f$ U" E4 a' H( M2 w1 j6 Z4 f解 （1）以梁為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析并畫出受力圖
9 w$ W% D* v* m- ^3 ^6 `, D6 E1 |5 o% R; g+ w0 W! ?
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。 ; D: o/ j$ O- x( j) F5 }
" u) |  R) s. i+ m/ Y4 t: ]6 M9 J
（2）列平衡方程
1 `4 k- `. b7 z7 @2 B; x- H6 j+ N# ?: }+ k" n# w
   
+ }: d, g& `- e- W. M7 b! D) a- v5 W5 l( S1 F, v  @  W" q  Z
2.3 平面一般力系
4 K" v  Z- B$ b! ?5 H% y2 E$ O5 u/ a( d( n0 K# k+ Y# X& a
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。$ s0 E: o. |2 `. I3 O5 X
0 G) o8 ^+ {% R; ^# `9 Q
! _: ?4 D1 h# v1 q6 `: S
4 z( J$ |7 b7 z1 A
上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用
' J* [- d# H8 b4 f5 h# P9 L+ S0 |% l" Z8 K1 w0 Y. V
2.3.1平面一般力系的簡(jiǎn)化
3 Y8 ~4 z& M  \! H* b. c
$ J5 c7 J0 k3 C2 ^+ [1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)。8 v- G  u6 s* H& c* S
7 U& Z3 I# V4 M" a3 O
問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
5 Y! P( ]0 J; Q
- X9 k: ?5 E1 ?+ V0 e將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，; F  w/ j. {- o& f$ e3 g
0 ]0 `3 k: B$ C1 b
( m; ]% I& [# D  ~

/ \( w& W$ }# z4 |5 M/ B6 x/ C2 k$ Y附加力偶，其力偶矩為
  a1 h; F0 G; W2 r# m
; D; {; G  W) [1 l: m  y  d3 DM(F,F'')=±Fd=Mo(F)2 Z4 D; V: E8 y$ x" l

+ |1 f6 `6 G- k) F- C& t( k3 T上式表示，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩。
" B+ n/ ]5 L7 p( R1 e; @
: V* [, O/ k, X: R( m( a8 c于是，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效。6 H# D  o1 U( m
9 Z# ]- ~: x- }  Y+ {
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。: |! t7 C% d; s0 ]

/ a+ d3 v, I8 Q9 W根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。4 Y9 \2 o5 q( t- W
! ]* Z6 f) x7 U
2 A& u8 {/ S/ S5 e8 F' y/ ~3 X
2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化3 [& G  O  ?+ S; {
& N- `/ _, V2 ^7 ^" W
1 X4 g$ _2 i! @' i

' }0 a4 U  S8 y0 T8 E7 a$ O7 ~9 m
α——主矢與x軸的夾角
  v: g6 ^3 ?9 l. T/ U+ O  [% N7 g) w- l+ e
Mo——平面一般力系的主矩
! ]/ \( P/ Q! W/ W4 K2 \6 L5 x  x  e- f- H8 u3 n
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。. ?" o2 V) M& T% u6 a% ?
3 r: _0 V# G& }# Q4 ]* ^' V6 `
（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩，所以主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）
! q: k, {7 q5 V" D; ^7 t% i4 L: y) t& f  K
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)" T, u( d/ P8 |  x& D' \

" c" `6 D! s  J平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩 Mo，
' ?+ t7 P9 f" ^6 n9 J7 g' X: y$ g7 }" V' }" P# Y
    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡(jiǎn)化中心上。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。
, o" [; ]3 X2 Z* J" \9 l/ z5 q, k' J. d
    主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。
4 z4 ]1 `- ~" Q# a0 t) y( U6 p& n5 C9 g) D% Q
3. 簡(jiǎn)化結(jié)果分析
  G) Z* @3 ^5 |, I( T
& X! z% Y! d9 P    平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M o ，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果，則有下列情況：
( j  M( C$ M1 |& y  t! T( J
) [- \- b3 v4 B8 sF'R =0, M o ≠0
" ?  w% f0 O: Q, t$ [) T! Z7 f' q, p" _  h/ N$ M
F'R≠0, M o =0
2 L9 ]& ^! j, ~# W. @+ K$ Q9 ?2 }" g" |
F'R ≠0, M o ≠0
5 t8 K& X$ d8 V, s! M6 q/ r0 w& ?& B$ S. [: d4 S8 `
F'R=0, M o =0(力系平衡)
. I3 H" R8 z3 J) j
" }$ Z6 z# v  L% Z" g9 ?# L2.3.2 平面一般力系的平衡
2 b) J* T( ^+ ~  I# y; @6 L
& ?+ u, w) j+ u  N1.平面一般力系的平衡條件 ' v. \2 {) w- t/ K3 t( w

+ C% d6 q! c1 h& C平面一般力系平衡的必要與充分條件為： & ]8 T! C( U" x; P1 R

) q( y& X# [# [/ E
6 g- o$ f2 j  l! H+ ~$ a* v
" m6 g7 G1 y; S* I: d  & W) J0 a4 W. {- o2 Y! q
3 A6 G/ d  s& V# V; _6 Q! n
2.平面平行力系的平衡條件 ' D* c% {1 F; `1 \, w' e0 A

& s# @6 \: R% F: z8 W平面平行力系的平衡方程為
3 ^  _2 D' L# s/ b, S( T! h, |. k% O5 F4 q
* h& X$ W# ?% j) ^6 ~

. m& Q+ u9 L+ r% o7 T平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量。
% O" s$ ?. J5 b9 Q  b5 X
7 s7 ?9 P6 h9 |) N6 R例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示。設(shè)機(jī)架重力 G =500kN ，重心在C點(diǎn)，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠(yuǎn)距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。
, Z0 q0 x" o, C  [  ~8 R4 i3 i
6 M  w( y& g2 H9 x+ i. k
' h* u2 |0 }" n! P/ H, e( w! e6 K4 o  X7 u1 Y; S
解：取起重機(jī)為研究對(duì)象。) V* o0 k0 o- G; P! U3 A8 r6 y  a1 C

: r0 w% @6 f* s; |4 u6 j是一平面平行力系+ x/ s# R5 h  |. `! `# }" Q

% e( X8 V: J* g2 P3 i0 v3.物體系統(tǒng)的平衡條件
. f* V* E. c. F5 N" |8 F* |- }& ]) h! J
物系——由多個(gè)構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。
- A1 G0 X7 P! C' ]2 x) ]% D, ~& W4 A3 k4 n% S
    若整個(gè)物系處于平衡時(shí)，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。3n ' i$ B4 K2 v! R$ c& f; W
+ X2 W( a/ b. D' Z. t
物系外力——系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力 ' C0 S5 H/ j  u1 E0 g) m7 k

5 f9 `2 o  F2 {' [4 j物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力
  ~: a" m! u2 B" t9 Z0 t9 [" i
. B3 N1 Q# `8 \& q物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念，它們之間沒有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力，必須予以考慮。
作者: 草原蒙狼    時(shí)間: 2009-9-28 19:28
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" K, Q8 E0 c* K$ ~
9 c& ]# m& x: e7 B6 U; L8 g
2.1 平面匯交力系
平面匯交力系的工程實(shí)例：
+ ?1 c5 r3 m, c( R/ O! G- G
2.1.1 力的分解
! ~. K$ m) b: ~' A按照平行四邊形法則，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力，可以合成為一個(gè)合力，解是唯一的；4 |/ I( m6 M8 N
但反過來(lái)，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力，如無(wú)足夠的條件限制，其解將是不定的。& O9 L9 K" d8 J6 z7 j
2.1.2 力在坐標(biāo)軸上的投影
7 |1 @9 L0 @. s( L
! P' I$ H, F. {
注意:力的投影是代數(shù)量，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取負(fù)值。
  i) t7 H) ^( `6 w9 S/ [
7 A7 g. u) `+ b, A. _3 m! `
2.1.3合力投影定理" m* |! m2 z: D

2 k- q# o/ c% }4 _, j: J5 w/ N& h/ ]: g9 B
0 H: s/ U8 r/ @, {, U
8 a7 \) F3 f# _$ h7 D) _* p
合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。
8 q  w" a  `, t& ~, L( G6 M, b  {2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
# @2 v1 Z4 h9 P3 I- [. ?% e5 G平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，即平面匯交力系可用其合力來(lái)代替。顯然，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即8 I% {# U2 w$ u1 t. b
  D8 {& h! }- m( t6 t
即

( U+ H3 d/ L* Y1 ^, q9 z力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。6 H" e! ~0 F# `: f
例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，與水平成30度角；F3=3000N，鉛直向下，試求合力大小。（僅是求合力大小）& W  x" M% A3 e7 e

  }* p- u1 B1 v4 {) o例2-2 圖示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì)，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí)，桿AB、AC所受的力。
/ ]- B# }. H5 C/ \2 u) ]

6 L* h9 S9 l$ a/ D2 a( |) Z解 因?yàn)闂UAB、AC都與滑輪接觸，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過其對(duì)滑輪的受力分析求出。因此，取滑輪為研究對(duì)象，作出它的受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
, `% y+ k% n! S$ X* J2 _
5 Z; l% Z- p; D解靜力學(xué)平衡問題的一般方法和步驟：4 F, E5 r2 U" {5 f, s, B
1.選擇研究對(duì)象 所選研究對(duì)象應(yīng)與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關(guān)系，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力；
6 L% l% G+ S0 C$ R% W2.畫受力圖 根據(jù)研究對(duì)象所受外部載荷、約束及其性質(zhì)，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖。
# P0 ?4 @" E( @1 j3 d3.建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標(biāo)系時(shí)，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直。
( j. i, u$ V5 w在根據(jù)平衡條件列平衡方程時(shí)，要注意各力投影的正負(fù)號(hào)。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí)，說(shuō)明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反。5 p8 Y3 v0 J' c" W$ f, a8 D
2.2 力矩與平面力偶系
2.2.1 力對(duì)點(diǎn)之矩?(簡(jiǎn)稱為力矩)
1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念
為了描述力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，引入力對(duì)點(diǎn)之矩的概念。
  B  }/ G# \% P+ W5 a5 \$ d7 H
力對(duì)點(diǎn)之矩用Mo（F）來(lái)表示，即 Mo(F) = ± Fd
, S% q' ^/ ]3 z: E1 E+ k6 h) X' j一般地，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂。
* s4 i" E; S9 a% k/ z5 I

6 n% l$ d+ n. m& y4 A+ \7 n$ zMo( F ) = ± 2△OAB
+ U  ^1 d8 h, {) {- x  R6 X8 F力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。0 \9 ]9 r" m6 o& q3 ~3 `# \
矩心不同，力矩不同。
7 B3 L& a+ z; u  V3 P4 m1 T規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào)；反之，取負(fù)號(hào)。 ( u3 G, P9 G' K5 B: W& O- ^
力矩的單位是Nmm。
6 b1 a0 G& ~( E5 z% _由力矩的定義可知：: a& Q. A& s% _& R" A0 c) V2 ?, ^
（1）若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮　⒎较蚝土Ρ鄱紱]有改變，所以不會(huì)改變?cè)摿?duì)某一矩心的力矩。
4 Z; y8 \5 B- a+ [（2）若F=0，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F(xiàn)≠0，則d=0，即力F通過O點(diǎn)。   H1 V& {9 j+ j. u! Y7 H$ K# u
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。 0 B0 i' t# A1 u  G7 ^
2.合力矩定理6 ]! x4 ?- v+ p* H
設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。
* B5 j" D( ?+ G9 @7 K# {6 K
  K& T9 m1 @- `% h4 W% O
計(jì)算力系中各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩，令OA=l，則$ l/ J7 M# d  P/ v5 }/ H( [/ \
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
$ I9 f2 v, J9 W; EMo(F2)=F2yl
0 B; b/ F+ K8 r. i! UMo(Fn)=Fnyl4 a8 \8 ^6 H' X( t' F5 `4 k
由上圖可以看出，合力F對(duì)O點(diǎn)的矩為
& y- ]$ [! x- h4 EMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
8 j+ c0 H" Q+ b% d據(jù)合力投影定理，有
7 O% o# l0 y; AFy=F1y+F2y+---+Fny
' F3 Y' Q. z; i7 J( ]0 vFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl' j) g( c! b8 t0 K  F' x* Y( S. [
即
" N! D+ t+ i( B# S8 r( `Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)" b; `# [8 ^5 [9 [8 A
6 d2 `/ i6 O1 _" `; |
合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
! y9 A; ]: P/ [% Y2 [9 U  w6 o7 `7 K3.力對(duì)點(diǎn)之矩的求法(力矩的求法)- B( ]. r$ G# m1 N7 F  m
（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩。 # c6 ]6 h$ |* E! j) [5 m+ Q
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線。?3 _2 k4 I3 n, }% A4 f! O
（2）運(yùn)用合力矩定理求力矩。力分解' C3 T" A6 Z2 b7 w& F+ X
例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。
; ?" y4 L8 a' e' P  n
% z, k: ~% D' k- L* n. v
解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解 1 @6 d! ~, r, }7 H' q! U

: ]& c/ b5 u. B- D3 [: C如圖，過點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa 。再過B點(diǎn)作力作用線的平行線，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則有
& T( S% p, Q/ m3 Y4 Z) W

- N0 @" L* i3 N7 k（2）利用合力矩定理求解
( y  v* ~: d& ?* t, p$ c將力F分解成一對(duì)正交的分力
/ _& j5 ~& v/ N8 L: R7 Q

1 L: t4 r  e, h  H  U力F的力矩就是這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù)。即
: I9 t4 \5 c; a, p( v- _# QMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)9 i/ ?  x$ O2 ?& z/ S7 t, Q9 I( E
2.2.2力偶及其性質(zhì)
5 u; x" ?) T( z9 G# m3 l1 i. b1.力偶的定義 - b! z+ V) {, j) e
在工程實(shí)踐中常見物體受兩個(gè)大小相等、方向相反、作用線相互平行的力的作用，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如，用手?jǐn)Q水龍頭、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等。
7 c# A2 G; s' K1 Y
5 N! |- }( ]3 a: B% g
力偶——大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F，F')
: m9 {# p. Y0 M" h( R2 f3 w8 w力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面
$ g9 D$ g# p& k& D& o力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d# c. Q2 U% e, \( a
力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向 9 `* N' M# I0 p/ q
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。怎樣度量？: o3 u, F. F! k# k1 H* @: F
力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力對(duì)點(diǎn)的矩度量。
& Q8 g9 B& ]# Y. `+ r/ O/ _& C設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)')，該力偶對(duì)任一點(diǎn)O的矩為
4 {/ E) c; s( m, S
! y) W' P: o% t5 z1 c+ M
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
) x* T- u' C3 z. c! U' Z1 o& t由于點(diǎn)O是任意選取的，故力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無(wú)關(guān)）
# F  w! J. w% ^力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
, Y+ [/ R! f2 D6 GM(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。
$ Z3 G- b6 s# K" V4 P力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣，是一代數(shù)量。% M; f$ o) [7 r. Y
Mo(F) = ± Fd . T. _! O2 `8 {3 h5 W7 U* _; Y
力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
6 l- y4 F5 M& V! ^7 s2.力偶的性質(zhì)
, p' A7 U; C2 i- }% m（1）力偶無(wú)合力。# v. W* h7 V; }  p1 M4 o, w
力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。
& R. r" b3 B! C, I/ }# h$ a5 L可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量。
6 i4 c: f1 i- E$ O（2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩。 $ T) ]7 b& F4 \" J, {: |) B9 e' o- ?
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的。 , k+ K3 \  l) O9 |7 W* y: H: Z& L
力偶的等效條件：
6 W1 d% M# `8 ^% h" }1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的作用。即力偶對(duì)物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。
, c! k. K1 L6 n7 J) S2 V. h2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用。+ S+ T. y& t. i$ ?
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
6 f' M7 j, g$ ?平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。
0 N+ v% g: ~& S4 [- ?1.平面力偶系的合成
$ H4 A" P8 _/ f4 [! t1 z例 兩個(gè)力偶的合成
  k4 L# ^! i* ]/ H4 r( X
M=M1+M2+---+Mn
( x& y1 P4 k$ I  i' i+ h

+ g) N0 Q/ R& C————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和
作者: 草原蒙狼    時(shí)間: 2009-9-28 19:29
2.平面力偶系的平衡
9 X- u' E1 Z; C% V平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零，; @8 _( N/ B4 ^
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁長(zhǎng)l=5m ，梁的自重不計(jì)，求兩支座的約束反力。
8 w8 y2 M) ^1 I

7 K2 x# e2 y' U6 K. t: U8 P解 （1）以梁為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析并畫出受力圖( a6 K" q! y. e: C. L- f
FA必須與FB大小相等、方向相反、作用線平行。
; x! {7 z) F9 D' i# J（2）列平衡方程
4 j4 q/ s4 J# O
7 P9 v9 d. r# M/ }
2.3 平面一般力系
平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi)，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。+ A1 k, |. j5 h9 R) O$ D. v% q

) O0 J  R" T6 v' z上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用$ m; Q7 o1 g) X4 z# s, h7 m: L
2.3.1平面一般力系的簡(jiǎn)化2 S, r8 ]* a3 ?3 l0 K& X# }8 B
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng)。' J9 _6 U/ ^9 F; x+ b6 G6 ^
問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？& a) N* D% C6 A" A
將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，/ q( w) `. O  h+ g! ~1 G

2 X' W( s$ B4 e8 b( B- l附加力偶，其力偶矩為
& f2 z$ F0 V& C  FM(F,F'')=±Fd=Mo(F): ~8 p( V* K# [) z( ]: W, b/ s. C
上式表示，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩。5 f: ~) `: ?- X8 I
于是，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效。) Y9 G2 @: i: G# S1 ^# u
力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩。( S& g- g1 B& ]$ B( u9 y5 x
根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。
8 g, X0 l3 O0 z/ {7 s5 k- }
$ t  c5 f7 |+ L( d0 m; O2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化0 N' t0 G) t; F* E$ m" T4 C- l2 T

$ q$ z" [" O  |6 x+ dα——主矢與x軸的夾角 " \/ t) l, I  z  A, Q" \! a0 B2 R
Mo——平面一般力系的主矩 % W- {8 {# a  F% |! p
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。- z& P* K6 Z+ K! W
（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩，所以主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和，作用在力系所在的平面上。）
  H- ~3 B6 [7 C$ f( bMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn): l+ Y' [7 T- h+ J+ n
平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩 Mo， - l; {0 F6 Q# T. |
    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡(jiǎn)化中心上。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。
    主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。
3. 簡(jiǎn)化結(jié)果分析
    平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M o ，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果，則有下列情況：
F'R =0, M o ≠0
F'R≠0, M o =0
F'R ≠0, M o ≠0
F'R=0, M o =0(力系平衡)
2.3.2 平面一般力系的平衡
1.平面一般力系的平衡條件
平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
+ G0 f' U0 F- f$ G; w/ J2 a

7 Z# q# t& o+ [+ n, W, {/ ~5 b7 V8 x2.平面平行力系的平衡條件 5 K( Y; a* [8 f
平面平行力系的平衡方程為
, H. o1 c6 ~3 v1 z& O. R

8 ?, a( H  L6 v: S! f
平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量。
例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示。設(shè)機(jī)架重力 G =500kN ，重心在C點(diǎn)，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠(yuǎn)距離 l =10 m 。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m 。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍。
0 r% ~- A& r+ c- P2 K1 H  ?9 v
解：取起重機(jī)為研究對(duì)象。! T; v4 b% X4 D- j
是一平面平行力系1 H% N0 P% ?5 u' \
3.物體系統(tǒng)的平衡條件
物系——由多個(gè)構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。
    若整個(gè)物系處于平衡時(shí)，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。3n
物系外力——系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力
物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力
物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念，它們之間沒有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí)，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)、相互抵消，因此可以不予考慮。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力，必須予以考慮。. w6 l# f% f; J( r, l  x
作者: 無(wú)能    時(shí)間: 2009-9-28 20:39
依圖為空間平行力系，其平衡條件是：% s7 ^4 d" }9 L: }$ W
P1+P2+P3+P4=W
+ t- G, p' P/ B3 nWB=(P2+P4)A* t) q4 W: `- G4 a
WD=(P1+P2)C  k9 ^; E; ]. B0 [& w. G) K9 t
3個(gè)平衡方程，4個(gè)未知量，此為一次靜不定結(jié)構(gòu)，必須得知各個(gè)桿件的E，補(bǔ)個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，方可求解。9 C) ]( X' l9 F! n9 ]
對(duì)鋼而言，因?yàn)槠鋸椖高達(dá)200Gpa，在靜不定的情況下，某一構(gòu)件長(zhǎng)或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長(zhǎng)100的鋼管，其彈變10微米，外力變動(dòng)就達(dá)1噸多，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個(gè)，即變身為靜定結(jié)構(gòu)，求解就易如反掌了。
作者: w9049237    時(shí)間: 2009-9-28 21:00
8# 草原蒙狼 # ?+ w! e0 i- _3 s, e6 W4 U) u
佩服.......無(wú)言!!
作者: rabitzh    時(shí)間: 2009-9-28 21:02
頂，我也發(fā)現(xiàn)用普通的力學(xué)平衡只能列三個(gè)方程，所以是靜不定結(jié)構(gòu)。& B8 V+ P+ q! z7 Z0 ^

5 m, [6 m$ o$ X2 M0 T如果是理論力學(xué)范疇的話，這無(wú)解的，但從材料力學(xué)變形協(xié)調(diào)的角度還是可以求出的，就是樓上所說(shuō)的那樣。
: N4 s5 V! ^+ g  V 9# 五更雞
作者: 草原蒙狼    時(shí)間: 2009-9-29 15:21
看來(lái)是空間力系解決的( K7 J- Z6 t2 b
6 i) ?0 G0 s$ A: w2 b. S
空間力系——各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力系。
3.1 力的投影和力對(duì)軸之矩
3.1.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影   
1.一次投影法
: `* e3 L0 B5 k& B* ?
設(shè)空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸如圖所示，已知力 F 與三個(gè)坐標(biāo)軸所夾的銳角 , 則力 F 在三個(gè)軸上的投影等于力的大小乘以該夾角的余弦，即
5 ?0 t" ]4 U/ Y6 F0 Y* M
7 U; k  X& V1 c% ^) ]$ U, f% P( W* x. u
2.二次投影法  
    有些時(shí)候，需要求某力在坐標(biāo)軸上的投影，但沒有直接給出這個(gè)力與坐標(biāo)軸的夾角，而必須改用二次投影法。

' }. N. u; k8 S3 j+ S$ l0 A反過來(lái)，若已知力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小和方向，即 : g  n6 v* [; A# O, u+ u
% U; @1 r) d( f5 t. |9 @
例3-1 斜齒圓柱齒輪上 A 點(diǎn)受到嚙合力 F n 的作用， F n 沿齒廓在接觸處的法線方向，如圖所示。 a n 為壓力角， β 為斜齒輪的螺旋角。試計(jì)算圓周力 F t 、徑向力 F r 、軸向力 F a 的大小。 3 ]. h" P4 Y# S4 b9 L: t

( k) I- d4 s% j( m解 建立圖示直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,先將法向力 F n 向平面Axy投影得 F xy ，其大小為
/ Q9 S% |& u1 O8 a' ]
F xy =F n cos a n   
向z軸投影得徑向力
F r =F n sin a n   
然后再將 F xy 向 x、y 軸上投影，如圖所示。因 q =β ，得
圓周力                                F t =F xy cos β =F n cos a n cos β
軸向力                                F a =F xy sin β =F n cos a n sin β
3.1.2力對(duì)軸之矩
  在平面力系中，建立了力對(duì)點(diǎn)之矩的概念。力對(duì)點(diǎn)的矩，實(shí)際上是力對(duì)通過矩心且垂直于平面的軸的矩。

( [. w  R9 b* W- s0 p8 h# p0 u以推門為例，如圖所示。門上作用一力 F ，使其繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)將力 F 分解為平行于z軸的分力 F z 和垂直于z軸的分力 F xy （此分力的大小即為力 F 在垂直于z軸的平面A上的投影）。由經(jīng)驗(yàn)可知，分力 F z 不能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以分力F z 對(duì)z軸之矩為零；只有分力 F xy 才能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即 F xy 對(duì)z軸之矩就是力 F 對(duì)z軸之矩。現(xiàn)用符號(hào) M z（ F ）表示力 F 對(duì)z軸之矩，點(diǎn)O為平面A與z軸的交點(diǎn)， d 為點(diǎn)O到力 F xy 作用線的距離。因此力 F 對(duì)z軸之矩為 2 e" l, X4 z9 G! S6 y; a4 ]& F8 f

, g* m. f. k5 b5 @1 y4 [/ v2 O5 H
式表明：力對(duì)軸之矩等于這個(gè)力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)該軸與平面交點(diǎn)之矩。力對(duì)軸之矩是力使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是一個(gè)代數(shù)量。其正負(fù)號(hào)可按下法確定：從z軸正端來(lái)看，若力矩逆時(shí)針，規(guī)定為正，反之為負(fù)。
    力對(duì)軸之矩等于零的情況：（1）當(dāng)力與軸相交時(shí)（此時(shí)d=0）；（2）當(dāng)力與軸平行時(shí)。
3.1.3合力矩定理
    如一空間力系由 F 1 、 F 2 、…、 F n 組成，其合力為 F R ，則可證明合力 F R 對(duì)某軸之矩等于各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。寫為

# G, O0 o. p' Z5 f& c9 p
3.2空間力系的平衡
3.2.1空間力系的簡(jiǎn)化
力偶矩矢

- A3 A# P3 ]9 I: D- ~. [% q設(shè)物體上作用空間力系 F 1 、 F 2 、…、 F n ，如圖所示。與平面任意力系的簡(jiǎn)化方法一樣，在物體內(nèi)任取一點(diǎn) O 作為簡(jiǎn)化中心，依據(jù)力的平移定理，將圖中各力平移到 O 點(diǎn)，加上相應(yīng)的附加力偶，這樣就可得到一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心 O 點(diǎn)的空間匯交力系和一個(gè)附加的空間力偶系。將作用于簡(jiǎn)化中心的匯交力系和附加的空間力偶系分別合成，便可以得到一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心 O 點(diǎn)的主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M O 。
0 w8 d0 [$ @2 l- M
2 v6 Q: Q9 a$ E
3.2.2空間力系的平衡方程及其應(yīng)用
    空間任意力系平衡的 必要與充分條件 是：該力系的主矢和力系對(duì)于任一點(diǎn)的主矩都等于零。即 F' R ＝ 0 ， M O ＝ 0 ，則

: |! Z  I- S6 _0 p. q1 b
由上式可推知，
    空間匯交力系 的平衡方程為： 各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零 。
    空間平行力系 的平衡方程為：各力在某坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和以及各力對(duì)另外二軸之矩的代數(shù)和都等于零。
3.3 空間力系平衡問題的平面解法
    當(dāng)空間任意力系平衡時(shí)，它在任意平面上的投影所組成的平面任意力系也是平衡的。因而在工程中，常將空間力系投影到三個(gè)坐標(biāo)平面上，畫出構(gòu)件受力圖的主視、俯視、側(cè)視等三視圖，分別列出它們的平衡方程，同樣可解出所求的未知量。這種 將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 的研究方法，稱為 空間問題的平面解法 。這種方法特別適用于受力較多的軸類構(gòu)件。
例3-3 帶式輸送機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中的從動(dòng)齒輪軸如圖所示。已知齒輪的分度圓直徑d=282.5mm，軸的跨距L=105mm，懸臂長(zhǎng)度L 1 =110.5mm，圓周力F t =1284.8N，徑向力F r =467.7N，不計(jì)自重。求軸承A、B的約束反力和聯(lián)軸器所受轉(zhuǎn)矩M T 。
解（1）取從動(dòng)齒輪軸整體為研究對(duì)象，作受力圖。

7 V! }8 R  Z1 V# ?  ]; ?& e（2）作從動(dòng)齒輪軸受力圖在三個(gè)坐標(biāo)平面上的投影圖。 # r, W' v* u& W: p6 E! K

4 p  E- \8 e* i8 V6 `  Q（3）按平面力系（三個(gè)投影力系）列平衡方程進(jìn)行計(jì)算
作者: fengjianzjg    時(shí)間: 2009-10-1 18:29
nihaoa  hehe
作者: p_p_5566    時(shí)間: 2009-10-1 23:03
樓上的搞得這么復(fù)雜呢，應(yīng)該不是搞實(shí)務(wù)的吧，既然平臺(tái)為一剛性水平臺(tái)又有重心W與各支撐點(diǎn)的相對(duì)位置，那么各點(diǎn)受重力關(guān)系為(P1+P2)P3+P4)=D ：（C-D）   ;    (P1+P3)P2+P4)= (A-B) :B     .......當(dāng)然樓主沒講明是哪種彈性支撐件，如果是豎直的首先根據(jù)上述受重力關(guān)系式算出對(duì)邊兩點(diǎn)的力，再算出一邊兩點(diǎn)的各點(diǎn)受力值。
作者: p_p_5566    時(shí)間: 2009-10-1 23:04
是“：”真么出表情了？？？？？？？？
作者: easylife    時(shí)間: 2009-12-22 10:55
依圖為空間平行力系，其平衡條件是：" X; B3 ?3 B- r, @+ C
P1+P2+P3+P4=W
- N$ G; R6 x7 P5 Z9 ~! G4 oWB=(P2+P4)A( Q; e1 Z% `- m
WD=(P1+P2)C* V# _9 x  x" @
3個(gè)平衡方程，4個(gè)未知量，此為一次靜不定結(jié)構(gòu)，必須得知各個(gè)桿件的E，補(bǔ)個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，方可求解。
6 C( Z% R# ^1 G, }7 I) s/ o對(duì)鋼而言，因?yàn)槠鋸椖高達(dá)200 ...) y5 {) k! |1 j$ \! Z" T% ]
五更雞 發(fā)表于 2009-9-28 20:39
$ F- ?) r% l' F

  d$ \) P& W' ~& F感謝大家的熱心解答，這個(gè)問題的由來(lái)是：
1 X$ q+ y3 h+ y. E& p( p某機(jī)器安裝4個(gè)空氣彈簧減震器，需要為每個(gè)獨(dú)立的減震器充氣，各減震器氣壓需要根據(jù)其受載大小確定。: ]- a8 b- v6 h+ B! B
減震器如下圖--其結(jié)構(gòu)外部為橡膠材料.: U! l2 r8 J1 s0 l+ f
[attach]159462[/attach]
7 x: Q# B2 |. a9 m8 P  z+ i7 whttp://search.newport.com/?sku=SLM-1A
- `6 M1 y& }% U) I1 A2 r
9 O1 Z' E9 k5 U: t3 D( K( |4 F; n/ \
下面是我們的解決辦法：
, A0 c" S/ }5 v計(jì)算各支點(diǎn)受力時(shí)，假設(shè)支撐件為普通橡膠柱（受載后變形為彈性變形），各橡膠體變形為x1,x2,x3,x4，橡膠剛度K,& l( V0 b; k' t( B5 H+ n, q6 G
變形協(xié)調(diào)方程為(x1+x3)/2=(x2+x4)/2，其他方程前面大俠有介紹.( \4 D5 e( Q/ D# }& I, [- O

2 a$ A# R0 g2 o  s也可以通過使用有限元軟件求各點(diǎn)反力來(lái)求解.
作者: 無(wú)能    時(shí)間: 2010-1-7 18:47
樓主把工程問題整成了數(shù)學(xué)問題，弄一堆代數(shù)再加上未知的彈性，難怪大家忙活死了。
0 |" O- n  h7 g  R- I直接給出數(shù)值，問題就大大簡(jiǎn)化了。
4 Q3 J- E; l5 Z9 C看樣子重物居中，則p1=p3，p2=p4。4 ~2 t  D' D& a$ j5 O$ h( z
p1+p2=w/2
* a& U. g6 K" x' `WB=p2*A*2
2 z+ t3 ^+ E, Q2 E* w倆方程倆變數(shù)，搞定。
作者: zyz4190    時(shí)間: 2012-6-5 08:42
可惜呀，討論就結(jié)束了！
作者: oliver97    時(shí)間: 2012-6-22 22:25
說(shuō)得詳細(xì)　謝謝
作者: hunter914    時(shí)間: 2024-6-6 11:32
四點(diǎn)支撐平臺(tái)各支點(diǎn)承重量計(jì)算的問題.樓主分析的相當(dāng)棒。學(xué)習(xí)了3 w  a* {: o3 h; Z* Y- \
作者: 溺水的咸魚    時(shí)間: 2024-6-20 11:42
可以參考導(dǎo)軌滑塊的設(shè)計(jì)計(jì)算



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