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標題: 計算繩子的長度，大家來做題目吧^^ [打印本頁]
作者: fmdd    時間: 2013-9-21 23:17
標題: 計算繩子的長度，大家來做題目吧^^
本帖最后由 fmdd 于 2013-9-22 07:40 編輯 - L3 K8 J0 p( X6 _4 ?2 `

) g; n5 z' P6 V3 b. ?大家來做題目吧^^
4 F7 c& h2 L- D! x2 p- v& _4 I6 s; ~3 \2 X' ^8 ?
假設一顆鐵球，拴了一根繩子。/ ^. U5 \+ r" k. [

/ R' C$ Q. W* u# }; a' x" ^0 M該鐵球位于地球赤道上方，繩子垂直于地面向下，鐵球相對于地面保持靜止。
: X! a0 G% ]: C" m% t+ D: k3 d9 l7 u$ x% ]% y8 ~
該鐵球相當于衛星，有點類似于地面上的一個棒棒糖。
# s  s: h1 G1 A/ K
( A/ x4 z1 t% Z$ X, s6 y; C假設繩子密度是均勻的，而且足夠結實不會被拉斷，請問繩子需要有多長？
  G& m0 I% Z' T, B5 N$ T+ }% a% m$ T" M7 j3 o
各物理量可以百度，比如重力加速度g、萬有引力常數G、可以百度得到。' ?, `0 X" b& Z) l% S

2 \/ m& Z1 Y( z5 u# l2 {計算過程中的未知量，比如鐵球重量等等可以進行假設。+ O7 x0 p" b0 R+ }: a+ [2 i8 X$ w1 ?
; F8 v0 T3 s6 P5 F" G
補充一個圖：9 h4 z: z3 L6 @: M: E1 `

+ d" U" Q# v$ O$ `  X3 d2 s. ~. R[attach]297623[/attach]
% v1 M* _7 F5 ]7 V" f5 ~* Q9 W9 V: h9 D  h$ S1 s! e
謝謝"探索號QM"的答題，他的計算模型中，是假設繩子對鐵球無任何影響。. z) m4 g7 N9 y" N1 o8 B- P: t2 c

2 b- |$ p4 i2 N9 K現在增加點難度，需要考慮繩子的影響。
5 b) K: X$ v4 ^! r$ ]2 Q6 C7 B0 T
由于有繩子的拖累，鐵球需要有更大的離心力，才能帶著繩子相對于地面保持靜止。0 B# o% x" K# D5 n4 D6 x1 k( c/ {

1 F) m6 m% ?  c. V) M# _2 L9 z0 i% i不計空氣阻力的影響，也不計繩子和鐵球之間的萬有引力。" J0 N! g$ V: p5 E, ^! E& T
/ ]* H+ ~# H4 s) J" c
給定一些可能會用到的參數(只是可能)' R, A6 A7 R/ J6 i: Z
鐵球質量：1kg! }: d" O) J9 w/ {3 O: g. q; l+ O% s
繩子直徑：10mm, t7 B. c" e4 I2 `5 v3 J/ y/ u
繩子線密度：0.1kg/m
6 P/ [1 X8 ]2 a繩子的剛度：無窮大
' W# V5 N* e, s5 U* p, |, ~3 [
作者: zerowing    時間: 2013-9-22 01:10
...地球同步衛星？
作者: 好方案    時間: 2013-9-22 01:45
同步衛星的軌道半徑有定數的，度娘。
作者: 探索號QM    時間: 2013-9-22 05:38
如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。5 b: a; d6 x: P& w
G*M*r^-2=r*ω^2
! ?. c6 f/ G* N) C- E6 m3 i7 O5 E其中:2 n, m# X4 T9 C6 Y# D8 ~+ r: p
G --- 重力常數，6.67*10^-11(m^3/(kg*s^2));  M --- 地球質量，5.97*10^24kg;  ω --- 自轉角速度，7.27*10^-5 rad/s ; r --- 該球離地心距離
$ Y1 C. {) O) u9 Z由等式得： r=(G*M*ω ^-2)^(1/3)=4.22*10^7m=4.22*10^4 Km
2 K7 Q1 _  V' u# N繩子長度是r減去地球赤道半徑，即：4.22*10^4-6378=35822 Km.
作者: fmdd    時間: 2013-9-22 07:02
探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38 # Y2 a9 j2 z$ Z, B
如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。0 Z/ R# e: t( \  ~$ J
G*M*r^-2=r*ω^2
& a7 Z* f+ F7 l$ a  R3 V$ T' l其中:

' Q9 G" U) q9 J% \! B, y$ V  l謝謝，繩子的自重也需要考慮
- k* f$ {+ T% u1 y3 ^4 I% r& P2 h( X) D3 C
9 X& i3 e, D. x" R, C
作者: 付明花    時間: 2013-9-22 07:35
有深度
作者: /_cast_王珂    時間: 2013-9-22 07:40
同步衛星的高度為H = 35,786公里。# C! Z0 ?/ e! I- z, G$ x
鐵球重量無關，是不是繩子重心在H上就可以了？那繩子就是2H
作者: qdtruck    時間: 2013-9-22 08:38
hehe,高科技！
作者: 聽雨的小雞    時間: 2013-9-22 08:39
實在是不明白樓主你在說什么。。。。。不明覺厲！
作者: 學武書生    時間: 2013-9-22 09:07
復雜
作者: 探索號QM    時間: 2013-9-22 10:21
fmdd 發表于 2013-9-22 07:02
) [) h' x7 P. J" w謝謝，繩子的自重也需要考慮
6 Z) b9 z8 s6 k3 G" }+ V' ^
繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定，不必重復，并利用其數值建立以下質心平衡方程：
, ]5 L% v# i4 o! f4 O" g(Ms+Mq)(r-rc)=0.5*L*Ms+L*Mq
' s' Q+ v$ q* o- t$ _4 r1 `其中：Ms --- 繩子重量并等于0.1L(kg) ;   Mq --- 球的重量=1kg;  r-rc=35822 km;$ i% K7 H, g- m& [/ n9 T8 w- V: f
將繩子重量等式代入上述質心平衡方程，可得到一個關于L的一元二次方程，可得到：$ W2 v/ Q& T/ t
L=71634 km; W9 A7 O5 D1 d- W( m& H  b
9 Y6 R# F. V' m* Q
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 19:07
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-22 19:11 編輯
7 I2 m1 x4 J8 k' h2 a. R7 `- f8 z
1 B& f9 M4 y  F- i- e% J[attach]297690[/attach]
( ^' V. N9 C" b" k8 K  d[attach]297694[/attach]
/ H5 f- m1 v  S" C6 b[attach]297692[/attach]: ?& O; {0 f& f# c% G6 H  [
請樓主批評。
作者: 哎瘋    時間: 2013-9-22 20:37
探索號QM 發表于 2013-9-22 05:38
4 l+ S/ t; r- @8 t5 y' V如果只考慮地球自轉，那等式建立的概念是重力加速度等于離心加速度。
# n+ u. K' D9 ^G*M*r^-2=r*ω^2, b4 v: d! S' E9 R2 J7 S
其中:
9 k( U/ Z+ |0 G$ P( R" v
只要繩子的長度和衛星的高度一樣不就行了，也許要考慮空氣的摩擦，但是如果繩子夠細的話，也可以不用考慮，還是考慮會不會被其他的星球絆倒吧，綜上所述，別用繩子了！
  x  d- F4 ^; M/ U6 @) k4 }; N
作者: fmdd    時間: 2013-9-22 20:50
探索號QM 發表于 2013-9-22 10:21 # R% o9 @7 \" y/ A$ O% @& F/ @
繩子與球的共同質心離地心和赤道表面的距離已經可以確定，不必重復，并利用其數值建立以下質心平衡方程： ...

4 y$ Q0 ~* j( I謝謝“探索號QM”的解答！- m1 e4 ~7 k+ }# f- f

6 T) t2 B/ T1 Y# ], h由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比，計算其萬有引力的時候，不能用質點法("形心")來等效，質心法過于理想化，精確點的解法是沿著繩子長度方向積分來計算總萬有引力，兩種計算方法差異比較大。2 C2 u- i. ]7 ?

, V8 y# Q% ?) e+ p% Q  W再次感謝！
% q3 m9 P. f* R/ V1 o0 ]. l/ S& T0 H
作者: fmdd    時間: 2013-9-22 20:53
逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07
! g, t$ ]; L) u; v) U: ^* h: V請樓主批評。
5 C( A: w* j: n' |
謝謝逍遙兄的解答！0 h6 o& D# |- ~
" w$ b4 ~1 C3 k# ?- j4 D* h
函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義，也沒能看出圖形交點的坐標值
5 H, {" f! r: c5 n7 u+ h
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 21:56
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-22 22:18 編輯
8 H. n+ V3 u2 z6 z+ J* a) z
fmdd 發表于 2013-9-22 20:50 ' _( S: m; }# @  F$ c
謝謝“探索號QM”的解答！
# q& [& o6 P! F, `: G& H3 C6 I1 D& y# `6 s1 G3 W
由于繩子和地球之間的萬有引力與距離的平方成反比，計算其萬有引力的時候， ...
8 u! R: X$ F6 b9 j& q8 ~, i& ~
沒錯。
0 z% f6 d# [6 |2 \; c. s' Q" E[attach]297700[/attach]
9 `( k7 c" O# |8 s! Q& k. J$ a當L2遠遠大于b時，可視為limb=0，將b=0代入最后一式，可得find(L)→L2。也就是說，當兩個質量體相隔距離非常遠時，遠大于物體本身的尺度時，質量體可近似視為質點。7 m- }# D) C4 h- a" w  A8 o3 v
/ c1 {6 j6 X7 x
所以當繩子-鐵球系統到地心的距離遠大于其本身尺度時，用前面朋友的簡化質心的方法，也是可行的，結果也應該是相當精確的。
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-22 22:05
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-22 22:12 編輯 5 N- W* B/ B8 a) s* L( _
fmdd 發表于 2013-9-22 20:53 % S! V7 z* a! l2 |2 I! z7 @5 v/ k$ X
謝謝逍遙兄的解答！/ S  |& j0 N) v$ n5 n, z
+ Z$ U& K6 K, _8 Y( d
函數圖象中沒能看出縱橫坐標所表示的含義，也沒能看出圖形交點的坐標值

* L9 y- l) O) D# @  F2 n如圖，當繩子長度為 1000m 時，若想鐵球-繩子處于平衡，則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 42160360.1m 之間。# F) F* I- J3 {7 m! I  _
% x' b3 d7 L0 {+ r$ }5 ?
[attach]297702[/attach]
  E1 O6 c2 b# t8 K5 M
7 d+ J0 P2 S) q5 D1 s當繩子長度為 10000m時，鐵球距離地心的理論值在 42164860.2m 與 42164860.3m 之間。
# c* R9 ]; R( G0 F* H7 }4 N1 O3 Z( `. ]
[attach]297703[/attach]: N( n$ n6 O5 x; m) Q9 l
5 W. M/ }5 i( i# f& e7 N. h
不知與fmdd兄的計算結果是否符合。
作者: fmdd    時間: 2013-9-23 00:06
本帖最后由 fmdd 于 2013-9-23 00:19 編輯
4 Z2 s) U5 n( F6 l) i
逍遙處士 發表于 2013-9-22 22:05
+ J) ?. s! ]) r- Q8 P4 u5 r6 N如圖，當繩子長度為 1000m 時，若想鐵球-繩子處于平衡，則鐵球到地心的理論距離在 42160360.0m 與 421603 ...
4 n8 W, I; Q! D% m% j4 ~5 k
多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM，辛苦大家了！9 `# k" h4 S  y3 ?" P

" d/ u5 z5 m; ^; M$ Y我的計算如下：
& _7 h# P3 |4 y& Y' @8 A2 G1 r* m* I: L9 s

# Q. T, }9 J; n5 ^
0 T& C, o6 C/ ?8 Z
1 [6 {( P6 U5 \0 p- _0 A
作者: supperslz    時間: 2013-9-23 08:41
理論源于實踐！
作者: 逍遙處士    時間: 2013-9-23 08:44
本帖最后由 逍遙處士 于 2013-9-23 09:07 編輯 - }" s2 V% }' {) G$ p' e
fmdd 發表于 2013-9-23 00:06
5 S% v" Q* `9 o* {. b多謝逍遙兄和前面參與計算討論的探索號QM，辛苦大家了！
4 i6 [# i8 F$ ~, G3 p' x7 W/ h! s! L( v" V# Y, o) ~
我的計算如下：

0 O* k8 Y7 Q9 _. i' u# g8 \( N9 i* {$ o- L地球同步衛星的軌道高度為 35786 km，這個高度是鐵球受到的離心力和地球對它的萬有引力的平衡點。
8 Q$ x: `4 D- U/ |. }若繩子長度為 144400 km，且尾端接近地面，那么鐵球高度將遠遠高于同步軌道高度，如果其旋轉速度跟地球同步的話，其受到的離心力將遠遠大于萬有引力，這時如果沒有繩子牽拉，它將向太空飛去。
" ?& d+ o9 ?( E: j3 C* x% c1 R1 e所以我覺得在繩子的末端還要計入鐵球對它的拉力，對鐵球也要計算繩子對它的拉力，這樣才能兩相平衡。
( p' k: D/ }9 y/ x. f2 ~7 e  l* Y
寫完上段，又琢磨了一會兒，覺得有點兒意思。鐵球質量才1kg，而繩子長度數萬公里，怪不得樓主直接將鐵球給忽略了。。。
, U) u/ W, o  k/ U, i0 }
$ r1 b! `3 I8 M2 U5 P[attach]297721[/attach]7 P( y7 X# A# \6 M4 z
& i% A7 H# c( b1 h
所得結果跟樓主差不多。但這些大數計算，差一個數，就差好幾萬公里……
作者: M大虎    時間: 2013-10-16 10:13
無地自容
作者: luyupei    時間: 2014-2-25 13:59
逍遙處士 發表于 2013-9-22 19:07 , ?& W# o: P) P6 ]5 u
請樓主批評。

5 H/ D% ^; p5 c$ x9 q9 f/ Q, W弱弱問一下，大俠用的什么工具做的文檔？圖形是用的什么工具？



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