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機械社區
標題: 讀書筆記之三---謹慎使用傳遞性 [打印本頁]
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 21:40
標題: 讀書筆記之三---謹慎使用傳遞性
本帖最后由 Pascal 于 2014-8-16 22:39 編輯
~& D0 L `$ L F3 B1 M( \$ u# `' V" Q0 J1 Z( Z: b" Y$ z
這是筆記系列之三。2 S& J/ n w* h. Q- Z" Q& [
6 \* R/ v$ k% ~5 C+ l$ Z5 X2 E之一是
* [* O# x& g* n) s! Ihttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=362805; E, @0 T0 j. j4 I W+ p1 N
* q- a4 z$ _: e8 J
之二是
; @+ T( |. n. m- r0 ^6 |+ p" I- s
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734
9 ]# p" N/ M1 Y/ q' a( R/ I/ l# J" X1 z. ~
1.在數學中，我們普遍使用傳遞性，如在實數范圍內
a=b,b=c,則a=c
a>b, b>c,則a>c
, h) J4 F8 x( q E
: L6 {) j% [ g5 Z9 V7 F. ]2 @* l) D
2.但在現實生活中，使用傳遞性則要謹慎。
讓我們看看這個問題：有一個2人游戲，甲乙二人來玩，每個人獲勝的概率都是50%，也就是說此游戲對甲乙二人來說是公平的；同樣，此游戲對乙丙二人來說也是公平的。我們能否推導出---此游戲對甲丙二人來說也是公平的？
! s; Q5 v- |! p) C! n! y6 i) c n6 I* I/ W3 C* ^1 U$ R
3. 答案是否定的---即此游戲對甲丙二人來說不一定是公平的。
: D2 r- L% O5 q2 N/ b- E L7 H4. 我們可以考察以下例子，比如說這是一個扔硬幣的游戲，以硬幣向上的數字大小定輸贏，即比較硬幣上面的數字，數字大的贏。硬幣非常薄，也就是說硬幣不會立在桌子上。
A.甲的硬幣一面是數字7，一面是數字3；乙的硬幣一面是數字9，一面是數字1。乙如果扔出9，必勝；扔出1則必輸，因此乙獲勝的概率是50%，同樣甲獲勝的概率也是50%，即此游戲對甲乙二人來說是公平的。
B.丙的硬幣一面是數字6，一面是數字2；我們同理可得乙獲勝的概率是50%，同樣丙獲勝的概率也是50%，即此游戲對乙丙二人來說也是公平的。
C.但是，如果甲丙2人來玩，會發生什么情況呢？游戲還是公平的嗎？
7 _, d4 u+ K, v8 I/ M. B' L
作者: 伏虎降龍 時間: 2014-8-16 21:54
離散變量，好像是不公平。
! n0 X! F& p/ X- {$ |( A但是如果是連續變量呢？根據“實數集”那些理論，是否會導出公平？
# F' |$ V" A8 y' W請大蝦分析。
作者: 原諒我今天 時間: 2014-8-16 22:32
這個……用斗獸棋來解釋不是更形象嗎？
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 23:01
伏虎降龍 發表于 2014-8-16 21:54 
3 A3 j, T! b7 \ t7 N& m) X0 q
離散變量，好像是不公平。
/ ^6 X5 Z- ~/ o, z但是如果是連續變量呢？根據“實數集”那些理論，是否會導出公平？
% i0 }, O- P5 H9 B; {% X請大蝦分析 ...
% a4 h3 Z g S3 d如果是同樣的概率分布，但數學期望值不同的話，還是不公平的。% N7 V- U$ N/ `0 }$ T! c% B
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 23:05
我們看看甲丙2人來玩，會發生什么。+ ^' @# F4 d8 w9 v( t
丙扔數字2，則必輸；扔數字6，有一半機會贏。考慮到扔2、6機會是一樣的，就是說甲丙玩這個游戲，丙贏的概率只有25%，而甲贏的概率有75%。
1 ], G6 e, n% [' o8 G所以，對甲丙二人來說，這不是一個公平游戲。
作者: Pascal 時間: 2014-8-16 23:11
或者我們還可以讓題目更簡單點，乙的硬幣不變，還是數字9和1；
! m* H8 X9 t1 G' [& q+ [- {' Q甲硬幣變成數字7和6，丙硬幣變成數字4和3。
; R8 ?% ]0 y0 s& G) k: ~對甲乙來說，還是一個公平游戲，勝率各一半；對乙丙來說，也是一個公平游戲，勝率各一半。* L# n$ m: L/ ], _" ?
只是如果甲丙來玩的話，甲總是贏，丙總是輸，這就是個絕對不公平的游戲了。
作者: 122747557 時間: 2014-8-17 11:08
能用傳遞性的都是要在同一性質下的吧！
作者: Pascal 時間: 2014-8-17 20:34
上面說了公平不能傳遞，“原諒我今天”大俠還提到了足球、斗獸棋的例子。
- E: s K3 l6 g1 b. t% `5 y! P* T下面我們來看看不等量--經濟學上叫偏好--能否傳遞。
L; i( t# [% B6 z. S% D% q1. 華夏國某鎮為推廣旅游經濟，想選一個鎮花出來，經過充分的調查研究，相關部門推出了3種候選花---油菜花、杜鵑花和桂花。0 L6 Q6 v# N l9 \1 c8 n( V
2. 選舉人為該鎮全體居民，并且我們還假定，對每個人來說，偏好可以傳遞；即如果某人喜歡油菜花多于杜鵑花、喜歡杜鵑花多于桂花，那么此人必定喜歡油菜花多于桂花。也就是說個體選擇有傳遞性。& g, o' H* R1 o6 ^
3. 經調查發現有2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，有2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。: `9 T" I" R; K+ x1 t
4. 能否得出結論---這次鎮花選舉中油菜花將勝出？
作者: Pascal 時間: 2014-8-18 12:18
能否得出結論---這次鎮花選舉中油菜花將勝出？
* ~. s' j9 x3 x c, S還真不一定。% C; o: l2 ^# }
& Q. [) N1 @& M1. 比如該鎮有1/3居民對花的偏好是最喜歡油菜花，其次杜鵑花，最后桂花；我們把這個群體稱為A群（油菜花，杜鵑花，桂花）。
7 ?7 D. y7 x7 d* o+ i, u7 o 有1/3居民對花的偏好是最喜歡杜鵑花，其次桂花，最后油菜花；我們把這個群體稱為B群（杜鵑花，桂花，油菜花）。
) H$ C$ b# N3 e' p; }3 M 有1/3居民對花的偏好是最喜歡桂花，其次油菜花，最后杜鵑花；我們把這個群體稱為C群（桂花，油菜花，杜鵑花）。$ x9 w: h5 L8 i+ B
2. 現在油菜花PK杜鵑花，A、C都是喜歡油菜花多于杜鵑花，只有B不是；即2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花。! x+ |( W" g7 X- A: t
杜鵑花PK桂花，A、B都是喜歡杜鵑花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。' z- {* q& k7 [/ x# G r
3. 是不是就可以認為該鎮居民最喜歡油菜花了？別急，我們再來桂花PK油菜花。+ F1 h( n8 \9 C( o1 y: F5 A' v
桂花PK油菜花，B、C都是喜歡桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。3 v1 i( r9 b, a+ Z. k4 ^
4. 2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花，2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
' H( J4 c* ^; E c7 f4 a! W 即油菜花優于杜鵑花，杜鵑花優于桂花，而桂花又優于油菜花！" T% l, b8 T$ K. X0 G: x
怎么會這樣！形成連環套了。
: d6 P# c' |0 q' b. t" o
作者: crazypeanut 時間: 2014-8-18 14:02
不同的樣本空間不能混為一談
作者: crazypeanut 時間: 2014-8-18 14:16
【/ w$ ]; i" m9 ~' b
1.在數學中，我們普遍使用傳遞性，如在實數范圍內
a=b,b=c,則a=c
a>b, b>c,則a>c
】
& P/ ~6 o: `. `5 I* z$ _
8 r) d/ U" `, Z" V7 {/ o! t; c/ O& g這個為何可以用傳遞性？？注意a,b,c，這三個變量，都是處于實數范圍內的，他是同一個層面的東西) A: h f$ F' X S. j
5 H/ A3 b3 R( d; i* }9 x! }【
$ h3 i: H/ H' _4 I+ v1 ~2.但在現實生活中，使用傳遞性則要謹慎。
讓我們看看這個問題：有一個2人游戲，甲乙二人來玩，每個人獲勝的概率都是50%，也就是說此游戲對甲乙二人來說是公平的；同樣，此游戲對乙丙二人來說也是公平的。我們能否推導出---此游戲對甲丙二人來說也是公平的？
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+ m v1 m) e; z, ` T這里為何不能用傳遞性了？？注意這三次游戲，A=【甲，乙】，B=【乙，丙】，C=【甲，丙】，這三者的樣本空間互不相同，沒有關聯性；除非我們定義新的樣本空間，Ω=【甲，乙，丙】，若甲獲勝=1/3，乙獲勝=1/3，此時可以推斷丙獲勝=1/3，因為他們處于同一個樣本空間，有P（丙獲勝）=P（Ω）- P（甲獲勝）- P（乙獲勝）=1-1/3-1/3=1/3" h& D: F4 O! j2 i* X
作者: Pascal 時間: 2014-8-18 23:09
在鎮花選舉的例子中，每一個個體的偏好都有傳遞性；但個體選擇的可傳遞性在集體選擇中消失了。- P9 e& ]% C3 a( a+ R1 w
這就是孔多塞悖論，也叫投票悖論。
作者: stoplonely 時間: 2014-8-19 22:17
數學大俠又來教學了，圍觀學習。
作者: 鏡月 時間: 2014-8-20 10:25
你硬幣都換了，還是同一個游戲嗎？搞笑呢！
作者: Pascal 時間: 2014-8-20 11:36
鏡月 發表于 2014-8-20 10:25 ) v5 J, z0 v& M- S F
你硬幣都換了，還是同一個游戲嗎？搞笑呢！
0 M8 D7 |9 E; G9 ^$ _硬幣沒有換哦，你看第一樓，甲乙丙三人硬幣是固定的，雖然三人手上的硬幣不同，但此游戲對甲乙2人是公平的，對乙丙2人也是公平的。, y- t& C; U* t. Q/ R4 s
并且這個模型在現實中也是有意義的，并不是所有參賽選手都玩同一個硬幣才叫游戲。$ Y1 I: y: H. ]1 n
7 d( V+ z& _' r8 y: _歐美發達國家領先我們幾十年了，他們會讓我們和他在一個平臺上fair play?& L+ ]: b$ x' y. L! o6 X2 B4 u
我們只能立足于手里的硬幣和人家玩，并且還要爭取一個對自己有利或公平的規則！
作者: 一劍的溫柔 時間: 2014-8-20 14:32
小李愛上了小紅，小紅愛上了小張，請問小李會愛上小張么
作者: Pascal 時間: 2014-8-20 15:01
一劍的溫柔 發表于 2014-8-20 14:32
+ v# x" {, m) @小李愛上了小紅，小紅愛上了小張，請問小李會愛上小張么
哈哈，溫柔社友高人啊，不過還有下一句呢，怎么不說？ Z9 _) j3 _/ p
4 b2 f/ ^8 R. ?/ E( Y
數學界流行的一個笑話。
( Z$ E% i8 W! @; ~ 一天，一位統計學家遇到一位數學家說：“你們都說如果a=b,b=c則a=c.那么如果你愛一位女的，而那個女的愛另一位男的，那么你也就是愛那個男的哦！！”
* Y9 I: O* @9 }# q$ H2 D數學家說：“如果你左手放在一杯100攝氏度的沸水里，右手放在0攝氏度的冰水里，那么你也就不會覺得有事哦，因為平均溫度不過50攝氏度而已。”
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