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標題: 求問一道數學題 [打印本頁]

作者: 陽光小院暖茶 時間: 2015-8-18 15:57
標題: 求問一道數學題
有個題目，想請教：
確定所有三元正整數組（a,b,c）,使得ab-c, bc-a, ca-b中的每個數都是2的方冪。（2的方冪是指形如2^n的整數，其中n是一個非負整數。）
不知道有沒有人能做出來

作者: 陽光小院暖茶 時間: 2015-8-18 16:02
我已經知道了幾組：2,2,2
2,2,3
3,5,7
2,6,11
但這個題目說是“所有的”，所以搞不出來

作者: crazypeanut 時間: 2015-8-18 16:03
這是2015年國際數學奧林匹克競賽試題的第二題

作者: crazypeanut 時間: 2015-8-18 16:12
本帖最后由 crazypeanut 于 2015-8-18 16:13 編輯

我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

答案是只有唯一解，2，2，2

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作者: 水水5 時間: 2015-8-18 16:13
首先推測abc都是2的正整數次方~
假設abc對2的冪分別為ABC
則，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使結果為2的正整數次冪，則A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
我解不下去了。

作者: 蕭mj 時間: 2015-8-18 16:16
不會解

作者: 陽光小院暖茶 時間: 2015-8-18 16:23

crazypeanut 發表于 2015-8-18 16:12 6 \9 ]' B6 p4 m/ [: Y9 _7 j1 g
我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的
* U5 ]( i& A$ Y4 b
, r* n5 _$ _. M" r1 h答案是只有唯一解，2，2，2
; ?0 J% A! j& Z ...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因為如果其中一個是1的話，假設a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數了，不可能同時為2的方冪。
你驗證一下我給出的三元數組，看看是否符合條件

作者: crazypeanut 時間: 2015-8-18 16:26

陽光小院暖茶發表于 2015-8-18 16:23 . M5 _5 ?0 {+ e8 O# E% z( |- [9 z
大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因為如果其中一個是1的話，假設a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數了 ...

仔細看了下，如果不允許出現2的0次冪，那，2，2，2是唯一解；

所以，如果允許出現2的0次冪，那么我們可以增加一個約束條件，ab-c=1，這樣難度就降低了

作者: yue7261598 時間: 2015-8-18 16:38
數學玩死人

作者: crazypeanut 時間: 2015-8-18 16:40
看這個吧

我確實解不出，這種有關整除以及正整數的題，我都是軟肋

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作者: 王奮斗 時間: 2015-8-18 19:15

crazypeanut 發表于 2015-8-18 16:12 : `( U$ u8 m) B; w3 t7 U G b
我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的9 }! O. W7 p( [

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哈哈，學習了！

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