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機(jī)械社區(qū)

標(biāo)題: 直角三角形也可以讓人頭疼 [打印本頁]
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 09:43
標(biāo)題: 直角三角形也可以讓人頭疼
有一種直角三角形，三邊的邊長恰好是整數(shù)，而且兩直角邊相差1，最小的例子就是勾三股四弦五。問題是：這樣的直角三角形如何全部找出來？
; M7 O- O: L8 X7 X5 v3 r7 q4 e8 }
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 09:44
有同學(xué)能給出方法嗎？
作者: xiong__007    時間: 2015-9-9 10:22
三邊的邊長恰好是整數(shù)，這個條件不好做
作者: DTxugong    時間: 2015-9-9 10:25
自己解方程  X^2+Y^2=Z^2；Y=X+1的所有正整數(shù)解，x=?,Y=?，Z=?,類似的有
4 S" U. C8 y  |1 y( T- h20、21、29； 5 _0 ^& ~+ u5 g/ R0 N
119、120、169； ( @: [  h$ w6 D* J$ c  X2 K
696、697、985； , g2 g0 U  e& Q# N9 f; v
4059、4060、5741； , \0 M/ F* A# c- R. M
23660、23661、33461；
& L7 ~8 R+ P3 Y* V8 a' R137903 137904 195025
) @* r, S- M8 N: ?1 J: K803760 803761 1136689
, X1 V) ?* G# T4684659 4684660 6625109
0 e  t* ^; L3 E/ C......
作者: 劉景亞    時間: 2015-9-9 10:39
這個是找不完的，理論上應(yīng)該有無數(shù)多個。
9 O. i1 }8 V7 @6 P1 I利用程序進(jìn)行窮舉，邊長在1千萬以內(nèi)的只有9個。
作者: 劉景亞    時間: 2015-9-9 10:40
窮舉程序如下：8 [% S# x! X7 M% b$ `8 [4 N) E
a=1:10000000;
$ C7 J$ l2 V4 Y2 f" v) c( Xm=2.*a.*a+2*a+1;( t# e1 m" u7 q
k=sqrt(m);
7 b7 ^2 G  X4 S6 ^- [/ a0 Pyushu=rem(k,1);1 Z% ^$ N- m2 z/ _5 N- R
4 N: j/ s# ^+ q+ I1 s
num=0;4 O  P5 }) m' ^0 A0 q2 v: [% ?" u2 X
for i=1:length(a)
; ~" b- c0 H2 W' f    if yu(i)==0
- e: ^7 b$ V/ d3 x5 [. t% L: [2 q1 A        num=num+1;
! m1 V& K; }9 L8 Z: y4 K9 {1 G    end
6 G3 a. v2 P  Kend) \- b. Z0 n) X( E
num
作者: biudiu    時間: 2015-9-9 10:53
列方程，用excel都可以! W8 i' d: R/ n  N
你不給個上限，我可能寫到死！
0 d7 m1 V- u" S) @) [4 U一千以內(nèi)的/ \( k' f' S1 h  b# |
3        4        5( H; ?% `/ Z! \$ B
20        21        29
' ?. b: X# f+ G/ M1 R119        120        169. s& x4 O/ S8 ~7 {
作者: 海燕ZHpf    時間: 2015-9-9 11:11
鉆牛角尖。
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 12:01
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11
* f5 `( B7 s, P. I) P2 Q# L鉆牛角尖。
( I$ a5 ^" z/ b
這是個純數(shù)學(xué)題目。' m8 ?0 A: I4 w7 T% t* K
機(jī)械圈的可以認(rèn)為是鉆牛角尖，數(shù)學(xué)圈子可不這么看。
作者: biudiu    時間: 2015-9-9 12:31
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 12:01
( A, @4 x( [! U$ S8 W) z/ O這是個純數(shù)學(xué)題目。7 E+ |/ m) |; m% D5 Q6 ~
機(jī)械圈的可以認(rèn)為是鉆牛角尖，數(shù)學(xué)圈子可不這么看。

1 H7 m# A1 `; w. S哈哈，大俠，我認(rèn)為機(jī)械圈里也不是牛角尖
' u/ q5 e$ _$ a3 ]( W( ]6 R6 T' u
有一次我設(shè)計中心架，在不改變初期計算的模型基礎(chǔ)上，為了保證好加工，好檢查，三角形三邊我都是整數(shù)，角度也是整數(shù)+ Z2 \, b) m+ I* U

$ t5 k) }2 s2 T也就是勾股定理，加上excel，就解決了。。。。。
: E8 L$ P  }' \* w% B  k+ o( s5 N
& u$ d  ]3 ]- h2 b( h( a1 g
4 I+ o2 l1 {# L! }4 u% A9 S7 Q9 U5 n7 `. J( g% g
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 12:59
謝謝。機(jī)械社區(qū)就是好啊。不過，在網(wǎng)上有一個答案是這樣的，設(shè)u和v是方程x^2-2x-1=0 的兩個跟，則直角三角形的較短直角邊的邊長a=(u^n+v^n-2)/4,其中n為奇數(shù)且n>1.' D$ z% y; J! ]9 f* J& Y
我一個個地驗(yàn)算：9 M0 A) N& o, F3 t% }+ [
當(dāng)n=3時，a=3; A! H% U& m& V& {
當(dāng)n=5時，a=20
9 j: O- B) D( n0 p當(dāng)n=7時，a=119
! l; _+ ~1 }& s, c& j* {當(dāng)n=9時，a=696
3 p: Z" e' F# \- G1 \% yn=11后演算有點(diǎn)繁瑣，前面幾個全部符合要求。看來公式是對的。有人知道這個方法的由來嗎？
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 13:23
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11 ' [* U" m+ |. F1 W$ K+ |
鉆牛角尖。
1 H# J1 C2 X; r$ R# ^
1. 兩直角邊相差1，注意只差1! _# ]8 T% q. D8 Q
2. 符合條件的解是否有無窮？我認(rèn)為應(yīng)該是無窮的，但我證明不了。
作者: shouce    時間: 2015-9-9 13:34
給出證明吧         看來你對這些問題很有興趣喲     給你來2個不同的
作者: shouce    時間: 2015-9-9 13:35
shouce 發(fā)表于 2015-9-9 13:34 9 f! ?8 ~1 i- T" Y+ r/ p6 V6 R
給出證明吧         看來你對這些問題很有興趣喲     給你來2個不同的

2 H* W' {' Z7 I- G4 h來2個3 h2 m8 Y% A2 o" A! X
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 13:38
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 11:11 ; i) v- w4 A& g) K, D# n+ N
鉆牛角尖。

' E' `: \: a$ A# Z9 m3 I. w. P再看看LZ一樓的原題吧，沒有說三邊比例是3：4：5 哦！
2 j/ j2 k% j$ |" i: Y# g- o
作者: 海燕ZHpf    時間: 2015-9-9 13:45
本帖最后由 海燕ZHpf 于 2015-9-9 13:48 編輯
+ A/ r' B# u1 j4 m4 i  _, E1 \6 c% _: S2 w$ b' z
最小的例子，3-4-5。最大的是多少？
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 15:43
海燕ZHpf 發(fā)表于 2015-9-9 13:45
4 x/ r7 ?7 N* a最小的例子，3-4-5。最大的是多少？

  Z  {; P! ]* h( v5 S* c5 g5 j# D6 |符合條件的解是有限個還是無限個？) b. S5 r- W" T8 ^7 }) N
因?yàn)榻馐钦麛?shù)，如果有無限個解，則沒有最大解；如果是有限個解，則肯定有最大解。. H/ h3 R$ v3 r  A! f
問題是，怎么知道這個解是有限個還是無限個呢？這需要證明。1 P: l' J0 k  E4 g/ W& O" z- W
明白了么？
作者: DTxugong    時間: 2015-9-9 17:34
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 15:43 : l/ S9 o0 u; d- w& o, N
符合條件的解是有限個還是無限個？
$ ?  c* K4 t- G4 k) n因?yàn)榻馐钦麛?shù)，如果有無限個解，則沒有最大解；如果是有限個解，則 ...
1 b% K, }. e8 T" M
如果有有限個解，則肯定有最大解；這句不能認(rèn)同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限的就肯定可以數(shù)出多少個一樣；這個題目本來就有無限個解你還非要說如果是有限的呢？難道正整數(shù)有限嗎？加個勾股定理的前提條件，和直角邊長相差1就變有限了？你肯定會說你怎么證明是無限；呵呵
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 20:10
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-9 17:34 8 ]# `6 o6 n1 r1 r: V5 [( c6 u5 j
如果有有限個解，則肯定有最大解；這句不能認(rèn)同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限 ...

4 T5 Z6 u* _" z4 i3 h, w2 L, E  @帕斯卡說的很對的。正整數(shù)無限個，這不用證明。但符合勾股定理的正整數(shù)三元數(shù)組是否有無限組，這是需要證明的，符合勾股定理并且直角邊相差1的正整數(shù)三元數(shù)組是否有無限組，這更是需要證明的。不能想當(dāng)然地認(rèn)為它是無限的。就像質(zhì)數(shù)是否有無窮多個也需要證明。! c* p$ e/ c) M: K- [! k. P
作者: Pascal    時間: 2015-9-9 20:47
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-9 17:34
0 g; Y4 A6 u! K4 o- v如果有有限個解，則肯定有最大解；這句不能認(rèn)同；就好比你在說為什么無限不循環(huán)小數(shù)是無限的，如果是有限 ...
% S# L: {" x; A/ ^4 f% j
19樓陽光大俠說得很好，建議仔細(xì)看看。; F. Y% D, t. P& h2 y- c- X
1. 我也感覺有無限組解。但我證明不了；在沒有明確結(jié)論的前提下，我只能假設(shè)如果有限組解會如何，如果無限組解會如何。
; q0 }2 ~( S# U; Y2 o; I# R2. ”這個題目本來就有無限個解“，數(shù)學(xué)里面沒有本來的事情，除了公理。
- M6 e( w4 }) _* m  e. D1 y& a# ~3 z; r
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-9 20:53
shouce 發(fā)表于 2015-9-9 13:35 5 m7 r6 V+ H9 W, A; x
來2個
1 y3 f3 Y1 U) i7 [$ e( e
懸鏈面表面積最小，擺線下降速度最快，呵呵0 h, S, t$ T# y5 g3 l5 j  e
這是變分法的內(nèi)容啊
( {. ]/ J8 M* r; z" y我還不懂這些，式子列出來了，卻解不出來5 A  U7 O" X' x" }9 @8 s9 K+ A
看書都看不懂，就是那Morris Kline的書。8 j7 P6 C  [0 P- M' d# [* f
你若知道，給我講講如何解的吧
* F% w1 {7 A5 S4 X" b# S; e! K% L8 {" f' R2 [) C
作者: DTxugong    時間: 2015-9-10 08:30
Pascal 發(fā)表于 2015-9-9 20:47 % M. d& @# @- M7 d/ M7 N' R
19樓陽光大俠說得很好，建議仔細(xì)看看。
* m  F2 @% N" I4 T' ]1. 我也感覺有無限組解。但我證明不了；在沒有明確結(jié)論的前提下， ...
/ W' v9 ^9 i( W* Z4 k6 x# J
你們兩個真是啊；是想把這題上升到世界難題的高度嗎？質(zhì)數(shù)有無限個解幾乎是所有人都認(rèn)同的；也有好幾位數(shù)學(xué)家通過方法證明了；樓主要否定國際觀點(diǎn)，認(rèn)為質(zhì)數(shù)有有限個？這題本來就是一個數(shù)學(xué)題目，難道一個二元二次方程在正整數(shù)范圍內(nèi)不是有無限解嗎？難道一個無限解的方程你要說你給我證明為什么有無限個解？否定科學(xué)的態(tài)度并不代表嚴(yán)謹(jǐn)；
作者: Pascal    時間: 2015-9-10 09:47
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-10 08:30 & s; J$ y; I" F
你們兩個真是啊；是想把這題上升到世界難題的高度嗎？質(zhì)數(shù)有無限個解幾乎是所有人都認(rèn)同的；也有好幾位數(shù) ...
& w$ x7 y8 ?, C. E' h$ C% I

) C% S! h. r0 O9 k3 X; |; v1.  我主觀上沒有把這題目上升到世界難題的想法，客觀上也沒這個能力。
1 q0 A2 Y- H$ `$ ^( A2 k2.  質(zhì)數(shù)有無限個是已經(jīng)被證明的，我和陽光大俠哪里否認(rèn)了這個結(jié)論？* ?1 y$ E0 E* G5 m* y2 R
3. “難道一個無限解的方程你要說你給我證明為什么有無限個解？否定科學(xué)的態(tài)度并不代表嚴(yán)謹(jǐn)；”
) N, e: q" e4 o  h$ I3 y    知道張益唐么，他窮畢生之力，才證明了一個弱化版的孿生素數(shù)猜想，也就是孿生素數(shù)有無限個。! l2 o# ?8 X; H6 j: a
   是不是張益唐的態(tài)度很不科學(xué)，很不嚴(yán)謹(jǐn)？！
作者: 陽光小院暖茶    時間: 2015-9-10 11:10
我也是恍惚間好像在哪里見過報道，呵呵，數(shù)論這東西，水太深
作者: DTxugong    時間: 2015-9-10 11:39
陽光小院暖茶 發(fā)表于 2015-9-10 11:10 1 j" F* I, S/ c8 U) t4 \
我也是恍惚間好像在哪里見過報道，呵呵，數(shù)論這東西，水太深

& r0 b/ c4 k) V# d3 h+ H1 M我說的是本題的二元二次,X^2+（X+1）^2=Z^2;你給我解解是不是無限；一個鉆牛角尖的人，帶著自以為是的觀點(diǎn)；數(shù)學(xué)是無窮無盡的，自己水平都沒到還去質(zhì)疑科學(xué)家的理論；是不是到現(xiàn)在1+1=2都沒有被證明，你就不用了？回頭看看你1樓的問題，再找個數(shù)學(xué)家?guī)湍闳拷庹页鰜戆桑徊粚Γ绻麛?shù)學(xué)家說有無限解，你就會問 為什么啊？哎，不用回我了，爭論這些沒意思；
作者: 小曹11    時間: 2015-9-10 11:56
要給個上限才行啊3        4                        5, o4 F, w7 r- k7 w4 Z, @
20        21                        29* r, n1 x( A8 a& W
119        120                        169
- O  w; T8 y. p696        697                        985* k# \* l! P& I& C& a; g7 L
4059        4060                        5741
7 Y: [% d/ p9 L, i7 K5 {% f
作者: 小曹11    時間: 2015-9-11 11:59
我愛9580 發(fā)表于 2015-9-11 08:08 2 O% a/ |, z' V0 y1 H$ R$ ~3 `. F
有同學(xué)能給出方法嗎？
1 D: t$ Q" d3 P" d5 J
用表格或者C語言很簡單的, }! J8 u% j$ z1 `! E( S1 I
作者: pacelife    時間: 2015-9-13 21:29
100萬之內(nèi)只有8組符合要求，計算機(jī)也要算好一會的
作者: fwsc    時間: 2015-9-13 23:30
DTxugong 發(fā)表于 2015-9-10 11:39 " ?3 B# A2 F( g- t$ Q
我說的是本題的二元二次,X^2+（X+1）^2=Z^2;你給我解解是不是無限；一個鉆牛角尖的人，帶著自以為是的觀點(diǎn) ...

' J/ a6 W- a+ W未被證明的1+1=2，不是數(shù)字1+數(shù)字1=數(shù)字2，它是歌德巴赫猜的代稱。
# z" E- P: Y0 K' @
4 [( c4 w& s" ?& {& h/ t歌德巴赫猜猜想：每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和。例如3+3=6；11+13=24。9 q0 g2 L9 G3 T! b  m1 v8 @) L' u3 l
! _. \4 i6 p( k* b3 {
兩素數(shù)之和[簡稱(1+1)]，所以形象稱其為1+1。* C9 M- ^5 ]6 Q5 n, u+ X
, t% g% F3 m% K7 `, t; l9 }
不小于6的偶數(shù)，形象稱其為2，也有人說1+1=2。
7 s$ B% E  Q. s; B8 g, z8 A
作者: fwsc    時間: 2015-9-13 23:56
假定直角三角形的邊為a、a+1、b
7 R4 \# i6 m5 L4 R# G, n: \% {5 Z
3 H7 @6 j0 Y- q( k# ^則b^2=a^2+(a+1)^2
% t0 O! n# r: E1 k. ^0 |$ ?  }0 S  J8 d
/ z! `. G8 W. b得到a=[sqrt(2b^2-1)-1]/2，a>0，排除負(fù)根4 V- L5 K/ u- j: I8 j
- k# e: Z' E6 _" @; R" B3 D
顯然[sqrt(2b^2-1)-1]為偶數(shù)，否則a不可能為整數(shù)0 W& H% l! f+ G; l3 R
. Z& N7 V- P* \# U- s  V% c6 k
令[sqrt(2b^2-1)-1]=2p，得到b=sqrt(2p^2+2p+1)* ^; ?# c8 }5 }: Q  _
3 t% b4 d2 N3 m3 Y
將b代入a，得到a=sqrt(2p^2+2p)+1
* M! R: \5 Z, N7 s' I- h3 z+ W: ^# j+ d+ a5 W6 @& U6 L, y
下面我沒轍了' C* O) w- h0 d  ?- @! o

2 b& _4 B* D& H* s; W
作者: 好學(xué)很好學(xué)    時間: 2015-9-15 14:04
excel
作者: l315609843    時間: 2015-9-16 14:07
xiong__007 發(fā)表于 2015-9-9 10:22 & X9 `$ W2 x! j6 M8 [
三邊的邊長恰好是整數(shù)，這個條件不好做

. y8 S+ S; i& \) ^2 e7 o2 \5 ^$ Y# e2 l直角三角形，怎么可能三邊邊長一樣啊# z6 z: q* V8 }6 j6 C4 B2 e
作者: xiong__007    時間: 2015-9-16 14:51
l315609843 發(fā)表于 2015-9-16 14:07
1 v: |7 |/ a& v" {. Q% N直角三角形，怎么可能三邊邊長一樣啊
9 K& Z' ?( o) E, f& f* V: V5 b
請把樓主的題目看全
  g& _1 o% E# C% h. z$ J
作者: dianfy    時間: 2015-9-19 14:37
各位數(shù)學(xué)學(xué)得不錯啊



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