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結構動力學是研究結構在動力作用下的振動問題，當結構上作用有變化力而引起較明顯的結構質量加速度時，其相應的慣性力便不容忽視。結構因動力作用而產生的位移和內力稱為動位移和動內力，動位移，動內力和結構的速度，加速度等統稱為結構的動力響應。機構的動力響應除與外部作用相關外，還與結構本身的動力特性密切相關，包括自振頻率，振型和阻尼。

實際結構都是由變形體組成的，而且質量是連續分布的，是屬于無限自由度的振動體系，若將所有動力計算問題都按無限自由度考慮，則不僅計算復雜，有時甚至是不可能的。將無限自由度振動問題近似轉換為有限自由度的方法有集中質量法和廣義坐標法。

所謂集中質量法，是將連續分布的質量集中到結構的某個或某些位置上，使其余位置不再存在質量的近似方法（一般忽略集中質量的轉動慣量的影響）。所謂廣義坐標法，是通過對質體運動的位移形態從數學的角度施加一定的內在約束，這種約束的數學表達式稱為位移函數。

（一） 單自由度體系運動

方法有動靜法（達朗貝爾原理）和哈密頓原理（通過對表示能量關系泛函的變分建立體系的運動方程？）

方程的建立，可通過柔度法，剛度法和虛功法，得到一個二階常系數線性微分方程，my’’+cy’+ky=Fp(t) （這個方程貌似很重要，RLC電路也是這個）。列方程時需注意兩點：

1，動力平衡中涉及的所有里均是作用在質量上，并且是沿質量運動自由度的方向；

2，質量的位移y是由靜平衡位置起算的動位移。

單自由度體系無阻尼振動時的圓頻率稱為自振頻率，ω=sqrt(k/m)，這個頻率很重要，取決于體系本身的剛度和質量，我們常說的‘共振’就是因為強迫振動頻率太接近自振頻率造成的。再一個就是自振周期。

有阻尼時，引入了一個概念阻尼比ξ=c/(2*m*ω)，根據阻尼比的值將有阻尼的單自由度體系分成三種情況：低阻尼<1，臨界阻尼=1，過阻尼>1。一般建筑結構阻尼比很小，約在0.01-0.1之間。阻尼的存在將使結構受到的干擾逐漸消退，阻尼比的大小決定了系統干擾消減的方式，對二階微分方程來說，它進入到e的指數上，帶著初始狀態走向消亡。

體系在動力作用下產生的運動稱為強迫振動，也稱為受迫振動。

無阻尼的強迫振動，

一、 簡諧荷載

運動方程全解分成三部分，前兩項由位移，速度初始條件引起的，第三項與初始條件無關，是伴隨激振力的作用而產生的，稱為伴生自由振動，第四項則是由激振力引起的并與其頻率相同的振動，稱為純強迫振動。當有阻尼存在時，前三項所代表的自由振動都將迅速衰減（方程的瞬態解），第四項由于他的振幅和頻率都是穩定的，因而稱為穩態強迫振動。

動位移幅值與靜位移幅值之比，稱為動力系數，它反映了慣性力的影響。

θ，強迫振動頻率，ω，自振頻率

簡諧荷載作用下無阻尼穩態振動的主要特點：

1，穩態強迫振動的頻率和荷載的變化頻率相同，動位移，慣性力以及體系的動內力均與干擾力同時達到幅值。θ<ω時，動力系數>0，動位移和干擾力方向相同；θ>ω時，動力系數<0，動位移和干擾力方向相反。

2，θ<<ω，動力系數趨近于1，這種情況相當于靜力作用，通常（θ/ω）<1/5時，即可按靜力方法計算幅值；θ>>ω，動力系數趨近于0，表明當干擾力頻率遠大于自振頻率時，動位移將趨向于零；θ趨向于ω時，振幅趨于無窮大。實際結構由于阻尼的存在，振幅不可能趨于無窮大，但它仍將遠大于靜位移的值，這種現象稱為共振。一般應控制θ/ω的值避開（0.75，1.25）的共振區段。

3，在（θ/ω）<1的共振前區，為使振幅減小可設法增大結構的自振頻率，這種方法稱為剛性方案；在（θ/ω）>1的共振后區，則應設法減小結構的自振頻率以減小振幅，這種方案稱為柔性方案。

共振現象的形成有一個能量積聚過程，所引起的振幅是由小逐漸變大的。因此，在電動機起動轉速驟增迅速通過共振區時，一般不會引起結構過大的內力和變形。

對一般周期荷載，總可以按傅立葉級數進行展開成簡諧荷載，然后疊加各荷載響應之和即可得體系的動力響應。

二、 一般動力荷載

由于運動微分方程是線性的，可運用疊加原理，任意變化的動力荷載，可視作一系列獨立瞬時沖量連續作用下響應的總和。應用杜哈梅積分，代入初始條件，可得方程全解。

突加荷載，動力系數為2，短時突加和瞬時沖擊（三角形荷載）視作用時間與自振周期的比值，最大為2

三、 支撐的動力作用

結構物受地震作用，車輛在不平的道路上行駛，或是機械設備基礎受臨近設備的影響均屬這一類問題，其動力作用相當于在質量上施加一動力荷載。

特點：只要體系充分的柔，動力系數的絕對值將遠小于1，這樣可使質量的振幅遠小于支座運動的振幅。但結構內力取決于相對位移，其動力系數不同于質量總位移的動力系數，質量的相對位移可能與支座的運動位移相反

有阻尼的強迫振動，

方程越來越復雜，但是道理是差不多的，方程解依然可分為瞬態部分和穩態部分，工程上主要關心穩態部分，以下是簡諧荷載作用下有阻尼穩態振動的主要特點：

1，阻尼對簡諧荷載下的動力系數影響較大，特別是θ/ω趨近于1時，動力系數峰值下降最為明顯；

2，θ/ω=1時，動力系數=1/(2*ξ)，動力系數最大值發生在θ/ω稍小于1的位置，最大為1/(2*ξ*sqrt(1-ξ^2))

3，有阻尼時質量的動位移比荷載滯后一個相位角。θ/ω趨于零，位移荷載趨于同向，此時體系因振動速度慢，慣性力和阻尼力均不明顯，動力荷載主要由恢復力平衡，與靜力作用時相似；θ/ω趨于無窮，位移和荷載趨于反向，動力系數趨于零，即體系的動位移趨向于零，動力荷載主要由慣性力平衡，體系的動內力趨向與零；θ/ω趨向與1，相位差pi/2，在共振區時慣性力和恢復力平衡，而動力荷載和阻尼力平衡。

（二） 多自由度體系

方程建立的方法和單自由度時類似，可以用柔度法和剛度法，這時的變為線性方程組，求其位移非零解，類似特征方程和特征值問題，自振頻率類似特征值，相對應的振型類似特征值對應的特征向量，而且一組正交解。

體系中質體位移模態保持不變的振動形式稱之為主振型，簡稱振型。體系的自振頻率中最小的頻率稱為第一頻率或基本頻率，其對應的振型稱為第一振型或基本振型。自振頻率及其主振型均為體系固有的動力特性，與外界因素無關。根據工程中較低自振頻率的振型對于體系的動力響應作用較大的特點，全部自振頻率按照從小到大順序排列，稱為頻率譜或頻率向量。

一般靜定結構宜使用柔度法，超靜定結構宜用剛度法。剛度矩陣和柔度矩陣互為逆矩陣，一般其對應元素并非簡單的倒數關系。

彈性耦合，作用在某一方向上的力會引起其他方向上的位移，或作用在某一方向上的位移會引起其他方向上的力。慣性耦合，某一自由度方向上的速度會引起其他自由度方向上的慣性力。

主振型的正交性，多自由度體系任意兩個主振型之間存在以質量為權的正交性，稱為第一正交性。任意兩個主振型以剛度為權的正交性，稱為第二正交性。在多自由度自由振動時，相應于某一主振型的慣性力不會在其他主振型上做功，相應于某一主振型的彈性力也不會在其他主振型上做功，這樣相應于某一主振型振動的能量就不會轉移到其他振型上去。

簡諧荷載作用下的無阻尼強迫振動的穩態振動特點：

1，當荷載頻率與體系的任一自振頻率相同時，振幅的系數行列式等于零，此時動位移振幅為無窮大，即出現共振現象。

2，質量的動位移和慣性力，干擾力同時達到幅值，因此可以將慣性力和干擾力幅值同時作用于體系上，按照靜力法計算體系的內力幅值。

振型分解法，是以體系自由振動是的主振型為基底來描述質量的動位移，利用主振型關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性，所得的運動方程將變成n個獨立的微分方程。這種可以使微分方程解除偶聯關系的坐標稱為正則坐標，它是一種廣義坐標。振型分解法也可以稱為振型疊加法或正則坐標法。

為了運動方程解耦的需要，在實際計算中通常假定粘滯阻尼矩陣C為體系的質量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，稱為瑞利阻尼，C=aM+Bk，a,b是兩個待定的常數，一般可根據實測資料確定。

解耦后可得到第i個振型的振動分量有正則坐標表示的運動方程，共計n個。其是由廣義質量，廣義剛度，廣義粘滯阻尼系數和廣義動力荷載組成的常系數2階微分方程，回到了單自由度時的解法，只不過未知量變成了第i振型的正則坐標值。可用杜哈梅積分來求正則坐標ηi(t)的響應。粘滯阻尼系數的兩個待定常數a, b，通常可根據實驗測得的第一振型和第二振型的阻尼比列方程求得，ξ=1/2(a/ω+b*ω)

以上振型分解法實質是將質量動位移分解為以正則坐標為權的各主振型的疊加，由于這一方法是基于疊加原理的，因而不適用與求解非線性振動體系。

特點：從正則坐標的角度分析，較低頻率相應的振型對體系動力響應的貢獻遠大于較高頻率相應振型的貢獻。而且，在有阻尼存在時，高振型響應的衰減速度又要比低振型的響應迅速的多。因此，在用振型分解法分析時，通常只需考慮前幾個振型對動力響應的貢獻，就可以滿足對實際工程問題的精度要求。

（三） 無限自由度體系

嚴格的說，實際結構都是質量連續分布的變形體，都屬于無限自由度體系。

以等截面桿彎曲振型為例，列出關于y（x,t）的4次偏微分方程，用變量分離法可解出通解表達式，代入初始條件，根據方程行列式為零的非零解條件，可解得自振頻率，對無限自由度體系，特征方程有無限多解，因而可求得無限多個自振頻率，對應無限多個主振型

近似法求自振頻率

一，瑞利法，瑞利法是建立在能量守恒定律基礎上的，略去阻尼的影響，彈性體在振動過程中的總能量，即應變能和動能之和應保持不變。

若Y(x）取為體系的某一振型，則可求得該振型對對應的自振頻率的精確值。但一般振型函數Y(x）是未知的，因此需先假設一個接近于振型函數的位移函數來代替它，這樣求得的自振頻率通常是近似的。所假設的位移函數必須滿足位移邊界條件，并盡可能接近振型的實際情況。通常第一振型所對應的形態較易估計，也較易用簡單的函數表達，因此瑞利法主要用于求解第一頻率的近似值。

二，瑞利-里茲法，是對上述方法的改進，可求體系前若干個自振頻率的近似值。其基本原理由哈密頓原理導出，哈密頓原理可表述為：在一切可能的運動中，真實的運動軌跡使（U-T）的時間積分取駐值。就是說，真實的運動軌跡使應變能和動能之差U-T的一階變分的時間積分等于零。里茲假設一組滿足位移邊界條件的函數，稱為里茲基函數，ai為待定參數，或稱廣義坐標。推得（U-T）對任意ai的偏微分等于零，得到一組以廣義剛度和廣義質量為系數關于待定參數的線性方程組。然后，根據系數行列式等于零的條件，可求得體系前n個自振頻率。一般來說，求體系前n個自由度時，應取n+1個自由度來計算。

有限單元法求自振頻率

對于比較復雜的結構，要準確的假設其整體位移函數是難以做到的。此時，可以將結構分割成有限單元，在單元內部可采用統一的，相對比較簡單的位移函數，而將結構作為這些單元的集合來分析，這種分析方法稱為有限單元法。

假設單元軸線上任意點的軸向位移u是x的線性函數，而橫向位移v是x的三次函數，根據單元兩端結點位移有位移函數w=[u;v]T=NΔ ，用形函數矩陣和端點位移的乘積來表示任意點的位移，由此可得應變和應力表達式（應變為拉伸線應變和彎曲線應變，應力對應為拉壓和彎曲引起的截面正應力）。由虛功原理單元桿端力虛功等于單元中應力在虛應變中所作虛功，最后可推出單元剛度矩陣的表達式，與直接利用靜力學方法導得的公式完全相同。（后面求穩定性時貼了一個幾何剛度矩陣的補丁，說是考慮軸向力對剛度的影響，不解）

如果將鋼架單元在振動過程中受到的分布慣性力作為一種隨時間變化的分布荷載看待，則可得到有分布質量的慣性力所引起的等效結點力，根據結點平衡條件，慣性力所引起的桿端力應是上述等效結點力的負值，從而可得一致質量矩陣。單元一致質量矩陣式對稱矩陣，它的某一列元素代表了某結點位移加速度等于1時所引起的各單元桿端力。

根據單元剛度矩陣和單元一致質量矩陣，可得到結果剛度矩陣K和質量矩陣M，然后根據頻率方程｜K-ω2M｜=0，求得體系的自振頻率。

一般地，有限單元法求得的自振頻率比精確值偏高，而用集中質量法近似計算時得到的頻率有降低的趨向。在板殼振動問題中，上述趨向常能與因采用有限單元位移法使結構鋼化以至計算頻率增高的趨向起相互抵消的作用。

結構的彈性穩定

結構的承載力除了取決于它的強度之外，還取決于他的穩定性。當結構中的某些構件受到較大壓應力作用時，結構可能在材料抗力為得到充分發揮之前就因變形的迅速發展而喪失承載能力，這種現象即稱為失穩破壞，其相應的荷載稱為結構的臨界荷載。

結構的失穩主要有兩種類型。第一類失穩的基本特征是結構的平衡路徑發生分支，所以也稱為分支點失穩。第二類失穩的基本特征是結構因荷載的作用而引起的變形的增長使得結構內、外力增量之間的平衡失去可能。在極值點處，結構由穩定平衡轉變為不穩定平衡，因此第二類失穩也稱為極值點失穩。比如具有初彎曲或橫向荷載的壓桿，特點是：從加載到失穩的過程中結構變形的性質不發生突變，而是平衡路徑產生了極值點。對于扁平的拱式結構，還可能發生跳躍失穩現象。除了上述整體失穩之外，對于薄壁構件還可能發生局部失穩。比如工形鋼梁，在一定的荷載作用下翼緣和腹板均可能發生局部鼓曲，稱為局部失穩或局部屈曲。當薄壁板件受到的邊界約束較強時，也可能出現板件局部屈曲之后仍可繼續承受更大荷載的情況，稱為超屈曲強度或屈曲后強度。實際結構嚴格地說都屬于第二類失穩，第二類失穩屬于幾何非線性問題，而且當結構的變形增加到一定程度時通常還伴有材料非線性的出現，計算比較復雜，一般只能利用計算機通過數值分析的方法確定臨界荷載。

在作穩定性分析時，將確定體系失穩時的位移形態所需的獨立幾何參數的數目稱為體系失穩的自由度。一般彈性壓桿或結構的失穩都屬于無限自由度的，因為受壓失穩桿件的形狀通常不能像一般受彎桿件那樣用若干個獨立幾何參數加以表達。若受壓失穩桿件的彎曲剛度被視作無窮大，則無限自由度的穩定問題便轉化為有限自由度。

靜力法，就是在原始平衡狀態附近的新的位移形態上建立靜力平衡方程，并以新位移形態取得非零解的條件確定失穩的臨界荷載。

特點，1，具有n個自由度的體系失穩時共有n個特征值，其對應有n個特征向量，即有n個可能發生的失穩位移形態。2，對稱結構在對稱荷載作用下的失穩位移形態是對稱或反對稱的。3，真實的臨界荷載對應n個特征值中的最小者。

能量法，按照勢能駐值原理，體系取得平衡的充要條件是，任意可能的位移和變形均使勢能Ep取得駐值，δEp=0 即勢能的一階變分等于零。對于具有n個自由度的體系，若總勢能可以表達為廣義坐標a1,…an的函數，則勢能的駐值條件，要求對任意δai，Ep對ai的偏導等于零，這樣就得到一組其次線性代數方程，其取得非零解的充要條件是系數行列式等于零，稱為體系的穩定方程或特征方程。由穩定方程n個根中的最小者即可確定臨界荷載。

（一） 用能量法確定彈性壓桿的臨界荷載

用靜力法確定彈性壓桿的臨界荷載時，若桿件的截面或軸向荷載的變化情況比較復雜，則可能導致撓曲微分方程稱為變系數的，常很難積分為有限形式；若是穩定方程的階數過高，不易展開求解。此時應用能量法常能取得很好的效果。

假設壓桿失穩是的位移函數，列出勢能表達式，根據勢能駐值條件可得一組齊次線性代數方程，此法也稱里茲法。由于壓桿失穩時的位移曲線一般很難精確預計和表達，用能量法通常只能求得臨界荷載的近似值，而其近視程度完全取決于所假設的位移曲線與真實的失穩位移曲線的符合程度。當位移函數為較簡單的近似曲線時，其二階導數的誤差一般遠大與位移本身的誤差，此時若能將桿件截面彎矩M用y表達后直接計算彎曲應變能，則所求臨界荷載的精度通常會明顯提高。由于同樣的原因，在連續體有限單元位移法中，位移的計算精度一般要高于有位移求導后得到的應力的計算精度。

（二） 組合壓桿的穩定

所謂組合壓桿是由作為承受荷載的主要部件的肢桿和維系肢桿形成整體，以保證肢桿共同工作的綴合桿所構成的。通常有綴條式和綴板式，組合壓桿穩定性分析關鍵在于確定整體剪切變形對其失穩臨界荷載的影響。根據靜力法依前所述建立失穩平衡微分方程，代入邊界條件求得穩定方程最小正根，即可求得Fpcr=Fpe/(1+Fpe*k/(G*A))，其中Fpe=pi^2*E*I/l*2為簡支實腹壓桿的歐拉臨界荷載，k/(G*A)為單位剪力所引起桿軸的平均剪切角γ0（k剪應力截面分布不均系數，矩形1.2，圓10/9，工字A/A1腹板面積）

綴條式和綴板式組合壓桿的計算依據上述可分別推得，經過適當的簡化和近似，在鋼結構設計規范中有相關介紹。

（三） 鋼架的穩定

鋼架在豎向荷載作用下的失穩通常屬于喪失第二類穩定性的問題。鋼架的側移隨荷載的增加而增大，而且因柱中的軸力會在側移上引起附加彎矩，側移增大的速度會不斷的加快。當荷載達到臨界值時，平衡路徑將出現極大值點，鋼架的平衡隨即喪失穩定性。由于第二類穩定性的問題比較復雜，因此常把問題近似地轉化為喪失第一類穩定性的問題。

在作鋼架的內力分析時，若桿件所受的軸向力很大（與臨界荷載相比），則軸向力對桿件剛度的影響就往往不能忽略。這種考慮軸向力對剛度影響（即二階效應）的結構分析稱為二階分析。例如，對于超高層建筑和構筑物來說，這種二階效應常不容忽略。

鋼架穩定性分析的位移法

根據平衡條件列微分方程，考慮軸力對彎矩的影響，求得通解根據邊界條件解出桿端彎矩和剪力，與位移法方程不同的是各項系數加入了計及軸力影響的剛度修正系數。桿件的內力并不是軸向力的線性函數，而且因軸向力會產生附加彎矩，桿件的彎矩圖形不再是直線。但桿端力仍然是桿端位移的線性函數，因此對于桿端位移來說仍然可適用疊加原理。在用位移法分析鋼架第一類穩定性時，作用于結點上的荷載不會使基本結構中的附加剛臂和附加鏈桿產生約束反力（忽略軸向變形？），因此位移法典型方程中的各自由項（載常數）都等于零。當鋼架失穩時，位移法方程的系數行列式等于零，由此解得臨界荷載。

鋼架穩定性分析的有限單元法

在作鋼架穩定性分析時，為計及軸向力對單元剛度的影響，把剛度矩陣增加一項稱為單元幾何剛度矩陣，或稱單元初應力矩陣，它與單元軸向力的水平有關。

由位移法所得的穩定方程行列式的階數較高，并且屬于超越方程，一般很難手算求解，也不易對其求解過程編制通用的計算機程序。而所謂的有限單元法就是利用統一而又比較簡單的近似位移函數來描述各單元的變形，然后利用虛功原理或能量原理導出單元桿端力與桿端位移之間的關系。對于桿件單元，一般可采用三次拋物線方程作為撓曲位移函數，當桿件不受軸向力作用時是精確的，但是在考慮軸向力作用時，采用上述位移函數卻是近似的，由此導得的單元幾何剛度矩陣也將是近似的。若需改善計算精度，可以將鋼架中的受壓桿劃分為若干個單元。

分析單元軸向力在由于橫向虛位移引起的虛變形上所作的虛功，可推得單元幾何剛度矩陣，其是對稱矩陣各項元素的值與單元軸向力成正比，其可用于鋼架內力的二階分析，以及與單元大位移矩陣相結合用于鋼架的大位移分析；忽略軸向變形時的梁式單元的幾何剛度矩陣，適用于分支穩定性問題的分析；

最后值得指出的是，用有限單元法求得的鋼架失穩的臨界荷載將高于臨界荷載的精確值。因為假定了單元的位移函數相當于增加了無形的約束，從而增加了結構的剛度。

（四） 拱和窄梁的穩定

對圓環，其臨界荷載qcr=3EI/R^3 ，說明圓環失穩的臨界荷載與其半徑的立方成反比，可見其穩定性隨半徑的增大而迅速降低。

對拱根據不同的邊界條件有不同的臨界荷載，詳見教材P195。

為了增大梁在平面內的抗彎能力，經常把梁的截面設計成高而窄的形式。當橫向荷載達到一定數值時，這種這種窄梁在原平面內的彎曲狀態可能稱為不穩定的，而發生平面外的斜彎曲和扭轉變形，稱為彎扭失穩。

臨界荷載Mcr=πEIy/l*sqrt(GIp/EIy)，可看出，當梁的軸向位移可以忽略時，臨界荷載與梁的側向彎曲剛度以及扭轉剛度的平方根成正比，而與梁在自身平面內的彎曲剛度無關。

結構的塑性分析和極限荷載

材料的理想彈塑性假設，假設材料的受拉和受壓性能相同，在彈性階段應力與應變為線性關系。應力一旦到達屈服極限，材料便進入塑性流動的狀態，此時即使應力不再增加，應變也可以無限增加。卸載過程中，應變的彈性部分隨應力減至零而消失，而塑性部分卻不隨卸載而消失，稱為殘余應變。即使說材料在加載時為理想彈塑性的，而卸載時卻是線彈性的。彈塑性問題的分析結果與加載路徑有關，計算時需要追蹤結構的全部受力變形過程。

對矩形截面α=Mu/Ms ，α截面形狀系數。（矩形1.5，圓形16/(3*pi）=1.7，工字型1.10-1.17，圓環1.27-1.40）

塑性鉸與普通鉸的相同之處是較兩側的截面可以產生有限的相對轉角。區別：1，普通鉸不能承受彎矩作用，而塑性鉸兩側必有大小等于極限彎矩Mu的彎矩作用；2，普通鉸是雙向鉸，而塑性鉸是單向鉸，只能沿著彎矩增大的方向自由產生相對轉角，若發生反向的轉角，則塑性鉸處將恢復剛性聯結的特性

在彈塑性階段中性軸的位置隨彎矩而變化，可根據平衡關系確定中性軸位置和彈性核的高度。

在塑性流動階段，中性軸變成面積等分軸，Mu=Wu*σs ，Wu=S1+S2，塑性彎曲截面模量，S1和S2分別為面積A1和A2對中性軸的靜矩。

超靜定結構在整個受力直至破壞的過程中內力的分布圖形經歷了變化過程，這個過程稱為超靜定結構內力的塑性重分布。

超靜定結構極限荷載計算的特點：

1，只需預先判定超靜定結構的破壞結構，就可根據該破壞機構在極限狀態的平衡條件確定極限荷載，而無需考慮彈塑性變形的發展過程、塑性鉸形成的順序和變形協調條件。

2，溫度變化、支座移動等因素對超靜定結構的極限荷載沒有影響，以為超靜定結構的最后一個塑性鉸形成之前，已經變為靜定結構，所以溫度變化、支座移動等因素對最后的內力狀態沒有影響。

結構的極限荷載實際上只與最后的破壞形式有關，只要能找出真實的破壞機構，便可據此直接求得極限荷載。所謂比例加載是指所有荷載都保持固定的比例，整個荷載可用一個荷載參數Fp來表示，即所有荷載組成一個廣義力，而且荷載參數只單調增加，不出現卸載現象。

結構處于極限狀態時必須同時滿足以下三個條件：

1，平衡條件：結構的整體或任一局部都能維持平衡；

2，內力局限條件：在極限狀態下，結構任一截面的內力都不超過其極限值；

3，單向機構條件：在極限狀態下，結構已有足夠數量的截面的內力達到極限值而使結構轉化為機構，能夠沿著荷載作正功的方向作單向運動。

為便于討論，將滿足1，3的荷載稱為可破壞荷載FP+，而滿足1，2的荷載稱為可接受荷載FP-。則可知極限荷載即是可破壞荷載又是可接受荷載。

基本定理：可破壞荷載恒不小于可接受荷載，FP+≥FP-

1，極小定理（上限定理），可破壞荷載中的最小值極為極限荷載

2，極大定理（下限定理），可接受荷載中的最大值即為極限荷載

3，唯一性定理（單值定理），極限荷載值是唯一確定的。

應當指出，結構在同一廣義力作用下，其極限狀態可能不止一種，但每一種極限狀態相應的極限荷載彼此相等，換而言之，極限荷載值是唯一的，而極限狀態則不一定是唯一的。

上限定理和下限定理可以用于給出極限荷載的上下限，也可以用于求極限荷載的精確解。根據上限定理來確定極限荷載的方法可稱為群舉法。如果能完備地列出結構所有可能的破壞機構，從相應的各可破壞荷載中取出最小值即為極限荷載。

平面鋼架的極限荷載

以矩形截面為例，截面屈服時，軸力和彎矩的關系是一條二次拋物線，稱為屈服軌線。軸力較小時，其對截面極限彎矩的影響不很明顯，因此在計算時一般可以忽略軸力對于極限彎矩的影響。

對于比較復雜的鋼架，由于破壞機構的可能形式很多，采用傳統方法確定極限荷載變得十分困難，于是出現了用計算機求解極限荷載的增量變剛度法。增量變剛度法的基本思路是將結構的塑性分析的非線性問題轉化為階段化的線性問題求解。基本假設：

1，結構的材料是理想彈塑性的，而且結構在到達極限狀態之前變形是微小的。

2，在截面成為塑性鉸之前，其行為特征保持為彈性；出現塑性鉸之后，將塑性區退化為塑性鉸所在截面，桿件其余部分仍為彈性區。

3，為簡化計算，假設荷載按比例增加，且為結點荷載，因而塑性鉸只出現在結點處，塑性鉸處的彎矩不發生卸載現象；每一桿件的極限彎矩為常數，但各桿的極限彎矩可以不相同，忽略剪力和軸力對極限彎矩的影響。

增量變剛度法的應用時建立在矩陣位移法的基礎之上的，主要特點是采用分級加載，在每一級加載段內均按彈性分析，而以新塑性鉸的出現作為分界標志。每當出現新的塑性鉸，就需要修改相關單元的剛度矩陣，并需要調整結構剛度矩陣，這也就是增量變剛度法名稱的由來。以上過程一直進行到出現下列情況之一則結構將形成破壞結構：

1，結構剛度矩陣變為奇異；

2，結構剛度矩陣的主對角元素中出現零元素。

此時，結構就到達了極限狀態，將結構到達極限狀態之前的各級荷載增量相加，即得結構的極限荷載，相應的內力和位移也同樣可由累加的方法求得。實際計算中，當結構剛度矩陣系數行列式或其主對角元素的值充分小，或者相應的結點位移超出正常范圍時即可停止計算。

以上主要內容摘自《結構力學》下冊，朱慈勉主編

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