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機械社區

標題: 一個有意思的題目，微積分的力量 [打印本頁]

作者: pacelife 時間: 2017-7-13 12:08
標題: 一個有意思的題目，微積分的力量
      題目其實比較常見，和機械中的某些概念也有互通之處，大家畫圖累了不妨做一下換換腦子。

   非洲草原上有一條南北向筆直的河，一只羚羊在河邊喝水，其身后距離為L處有一只虎視眈眈的獅子。某時刻羚羊發現了獅子，立刻以速度v向北奔跑，獅子迅速以速度2v奮起追擊，方向始終對準羚羊，試問獅子經過多長時間能夠追上羚羊？要求畫出羚羊和獅子的動態行進軌跡。

   晚上回去把我的解法貼出來

作者: 鐵未銷 時間: 2017-7-13 13:28
本帖最后由鐵未銷于 2017-7-13 13:30 編輯

難道不是t=L/V？

作者: pacelife 時間: 2017-7-13 13:33

鐵未銷發表于 2017-7-13 13:28
" Q; L! o3 n4 Z. I7 d難道不是t=L/V？

逃跑的方位你沒搞清楚

作者: WXB4006 時間: 2017-7-13 13:49
有難度

作者: 忽樂極 時間: 2017-7-13 13:51
別最后來個冷笑話就行

作者: 那年夏天521 時間: 2017-7-13 14:11
hehe

作者: 挨拍的5 時間: 2017-7-13 14:16
永遠追不上的

作者: 鐵未銷 時間: 2017-7-13 14:16

pacelife 發表于 2017-7-13 13:33
% T; A- x% Q4 v逃跑的方位你沒搞清楚

好吧，看來這個身后是東西向的了

作者: 只有快樂 時間: 2017-7-13 14:44
近乎于一條曲線，無限接近于0點

作者: 挨拍的5 時間: 2017-7-13 15:52
很明顯要用微積分的知識

作者: xiaobing86203 時間: 2017-7-13 17:35
數學的力量是強大的~

作者: 夢回舊時光 時間: 2017-7-13 18:08
獅子運動軌跡的切線方向一直指向羚羊。

作者: 水秀天藍 時間: 2017-7-13 18:15
導彈的模型。

作者: 水秀天藍 時間: 2017-7-13 18:17
這個應是一個二階非線性微分方程，可轉化為一階方程，并且存在解析解，甚至是顯函數表示的。

作者: 蘇州裝配工 時間: 2017-7-13 20:51
結果是（2/3L-2）* 根號L？

作者: 楊冬冬 時間: 2017-7-13 21:06
dy/dt=2v* (L-y)/√[(〖(L-y)〗^2+〖(Vt)〗^2 )],當t=0,y=0；解這個方程y=L，就得出時間。有沒有解析解不知道，但我們是工程師，數值解法搞定

作者: pacelife 時間: 2017-7-13 22:00
本帖最后由 pacelife 于 2017-7-15 08:38 編輯

解析解為：
[attach]427922[/attach]

下面動畫為L=100，v=1的情況：
表達式為：
[attach]427920[/attach]
因為x值為（-100,0），所以表達式中會有個i，
按F5刷新一下看動畫，

[attach]427919[/attach]

作者: 水秀天藍 時間: 2017-7-13 22:47
轉化為極坐標是否可行，好像求導變換蠻復雜，可能真要Maple才行。

作者: gerrard 時間: 2017-7-14 09:08
試著解一下

作者: pacelife 時間: 2017-7-14 09:39
我的解法：[attach]427846[/attach]

作者: 動靜之機 時間: 2017-7-16 00:47
回去翻書，網搜，找到有關資料，復習了一下。
抄作業如下：
[attach]427993[/attach]

動圖，俺就不會畫了。。。

作者: 動靜之機 時間: 2017-7-16 10:50
昨晚一犯困，沒算時間，如果是考試，又得丟分。

[attach]428020[/attach]

獅子確實是花了同樣的時間，跑了兩倍的路程。

沒辦法，都是為了活命。

阿彌陀佛。。。。。。

作者: 我是烏鴉啊啊啊 時間: 2017-7-16 13:21

pacelife 發表于 2017-7-13 22:00
, W3 C! x: h1 q) X; K3 T3 o解析解為：

那最后這個題的答案是多少啊，方便把動圖的代碼貼出來嘛

作者: zhuzai 時間: 2017-7-16 14:23

pacelife 發表于 2017-7-14 09:396 C/ C8 [0 K' M1 }
我的解法：

能詳細點嗎？

作者: 我是烏鴉啊啊啊 時間: 2017-7-17 17:54

我是烏鴉啊啊啊發表于 2017-7-16 13:21
6 _8 o6 d+ Q7 o$ F1 o2 {那最后這個題的答案是多少啊，方便把動圖的代碼貼出來嘛

恩，有看到，那個動圖是用Mathematica做出來的吧，想看看代碼可以嘛

作者: 肥啊肥 時間: 2017-7-17 19:48

pacelife 發表于 2017-7-13 22:00) f# S; N: C! c' t9 i$ E4 {& D
解析解為：

能把動圖的代碼發一下么，應該是mathematic吧

作者: 段學斌 時間: 2017-7-18 20:21
求mathematic的代碼

作者: pacelife 時間: 2017-7-19 22:05

我是烏鴉啊啊啊發表于 2017-7-17 17:54
9 u6 O/ z) v, J. Z9 ?3 |. L恩，有看到，那個動圖是用Mathematica做出來的吧，想看看代碼可以嘛

K = DSolve[{-V/(x*f''[x])*Sqrt[1 + f'[x]^2] == 2*V, f[-L] == 0,
f'[-L] == 0}, {f[x]}, x];
M = K /. {V -> 1, L -> 100};
Manipulate[
Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0},
  Epilog -> {PointSize[0.01], Black,
Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
   M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,
Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
   M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a, -100,
  0}]
Export["1.gif",
Table[Plot[M[[2, 1, 2]], {x, -100, 0},
Epilog -> {PointSize[0.01], Black,
   Point[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
      M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}], Red, Dashed,
   Line[{{a, M[[2, 1, 2]] /. x -> a}, {0,
      M[[2, 1, 2]] - x*D[M[[2, 1, 2]], x] /. x -> a}}]}], {a,
Join[Range[-100, -1], {-0.0001}]}]]

作者: myfunction 時間: 2017-7-21 18:03
學習了。

作者: 快樂ipk 時間: 2017-8-7 22:33
太好了，非常感謝樓主的分享!

作者: qq5847271217 時間: 2017-8-9 16:38
不是很懂你們，也許是我太傻，我這么看：
獅子位于0，
羊位于L
羊最終被抓的路程為S1
獅子最終路程為S1+L
S1=Vt
S1+L=2Vt
可以得知L=VT

然后畫位移與時間的方程圖，是兩條相交的直線。然后還有啥？

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