已知面角，如何求歐拉角，機器人坐標變換怎么求？

水水5

DaedraMech 發(fā)表于 2025-7-28 14:23
# m/ b1 k% v7 i$ ]; E4 _$ s( q) I. d一般對算法這邊來說最直接的就是拿到變換矩陣了，不知道為什么還要舍近求遠獲得歐拉角，不過樓主需要的話 ...

* u4 f0 u+ w  a$ |. @+ x感謝層主，膜拜
* L" n$ k% M3 @5 r6 d# T% L
我一定把它付諸實踐

我又搜索了一些其他的方法，再次請樓主給于指導(dǎo)。一些方法貼入后面的回復(fù)。

水水5

方法一 本文轉(zhuǎn)載自簡書，作者是梁間。表示感謝
2 m) U0 ]/ s- l9 k數(shù)學(xué)模型已知兩個坐標系在各方向上尺度縮放比例一致，兩個坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以用7個參數(shù)來表示，3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，3個平移參數(shù)，1個比例參數(shù)。已知三點在A、B兩個坐標系中的坐標，那么這7個參數(shù)可以唯一確定。
& j: w4 h3 n( m2 K( |0 @3 p坐標轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型為：

其中，λ是比例參數(shù)，R是旋轉(zhuǎn)矩陣，Δ是平移向量，A、B分別是兩個坐標系中的坐標。
比例參數(shù)λ最容易計算

其中 為兩點在A坐標系中的距離。
旋轉(zhuǎn)矩陣R是一個3x3的正交矩陣，有3個自由度。可利用反對稱矩陣S來構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣R：
" ]' S. l5 h( O8 H; ~" \/ X
! f  e% @, H% b2 g* F! G那么

其中I是單位矩陣，這里R只有a、b、c三個變量，解出a、b、c即可確定旋轉(zhuǎn)矩陣R。
把兩點帶入(1)式并相減消去ΔX、ΔY、ΔZ

這里為點在A坐標系X軸向坐標值，為已知量。我們簡化一下寫法設(shè)定：

, _% _" z2 M$ y$ C' n! q這樣(3)式可寫為
- I. x( b$ I8 V6 i$ W+ i
把(2)式帶入(4)
/ k" m  T1 E/ L4 Z. D& g3 A. Q
& w& J8 d$ t" [帶入S

4 i# V$ R0 ^# Z展開
! R, m! J5 I- X, P" P/ S. F
整理可得
- I& ]+ Z3 ~3 Q+ d
9 Q7 Y% d2 e1 }(5)式只有兩個獨立方程，解不出a、b、c三個未知量。帶入點得到和(5)式類似的方程組，兩個方程組聯(lián)立，取3個獨立方程


可結(jié)出
+ a3 f% e) h) `2 m  r3 f
把a、b、c帶入(2)式可到旋轉(zhuǎn)矩陣R，把任意一點坐標帶入(1)式可得Δ。


. k3 x9 b8 G: L; [/ p- }  Z
" c; N3 \& A8 F6 o' G$ O作者：梁間
5 l, c" @' f8 J5 K5 y, W鏈接：https://www.jianshu.com/p/58cf5655f9a9
, [# t, t7 N4 E" g5 }# Z來源：簡書
! E$ x: s- q3 P0 g著作權(quán)歸作者所有。商業(yè)轉(zhuǎn)載請聯(lián)系作者獲得授權(quán)，非商業(yè)轉(zhuǎn)載請注明出處。
9 a& e: Q' {- Y- _2 H, i9 d
1 k5 C) V; b) b7 W* t: F7 b

水水5

方法二，這里提到了SVD算法

通過實際的坐標點例子，來直觀解釋通過SVD求對應(yīng)的坐標系關(guān)系。

已知四個點在坐標系A(chǔ)中的坐標為：

（0， 0， 0）; （1，0，0）; （1，1，0）; （0，1，0）

可得矩陣A為

' c) {6 p/ ?/ ~9 P2 y" ^
矩陣A

這四個點在坐標系B中的坐標為：

（2，2， 2）; （3，2，2）; （3，3，2）; （2，3，2）

可得矩陣B為

# d$ o- }$ i1 Q& w0 O矩陣B步驟一：求兩個數(shù)據(jù)集的質(zhì)心

根據(jù)上述公式，可得質(zhì)心為

步驟二：將兩個數(shù)據(jù)集的質(zhì)心移動至同一個點，即只存在于一個旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

對應(yīng)坐標系中的點同時減去質(zhì)心，計算后的矩陣A和B分別為

/ L" @! S5 y7 s  g+ T# o
計算后的矩陣A
# z0 f8 v8 u$ [. k* P9 |
5 F- c- w2 a) M* I9 a9 b; h計算后的矩陣B

備注：此處的矩陣A和矩陣B一樣，因為舉得例子較為特殊，只存在平移關(guān)系。計算過程通用。

步驟三：通過SVD算法計算旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系。

定義一個3X3的矩陣，將矩陣A的每一行數(shù)據(jù)與矩陣B進行點乘，會產(chǎn)生四組3X3的矩陣，將這四組數(shù)據(jù)求和，得到最終的3X3的矩陣，就是我們需要用SVD算法來進行奇異值分解的矩陣H。

上述公式中，顏色相同的框內(nèi)數(shù)據(jù)進行點乘，構(gòu)成3X3的矩陣a1,a2,a3,a4。

矩陣H = a1 + a2 + a3 + a4。計算結(jié)果如下

通過SVD算法分解該矩陣，這里直接通過MATLAB接口調(diào)用，具體原理在前面的章節(jié)中已描述。

步驟四：計算旋轉(zhuǎn)和平移關(guān)系

根據(jù)上述求出的u1和v1，可求得旋轉(zhuǎn)矩陣R為將該旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)為歐拉角則Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0。

根據(jù)公式

得平移矩陣為

總結(jié)：如果在實際項目中，需要獲取多臺設(shè)備間的關(guān)系，如機器人相對于產(chǎn)品間的關(guān)系，或者機床相對于產(chǎn)品的關(guān)系，則該方法較為實用。注意：在實際的選擇參考點時，不要在一條線上選點。如上述選的四個點，要求不能共線。要不然會減少有效數(shù)據(jù)。

DaedraMech

沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行。

: F. U/ G' O7 ~3 U; C! m, r4 e* t6 w我把之前回復(fù)中的齊次變換矩陣改一下符號，樓主可以對比下和文章中的表達方式是不是一回事：
0 X0 U$ \" ]1 R7 |3 \& S7 b

平移、旋轉(zhuǎn)、縮放這類坐標變換我們統(tǒng)稱為線性變換。平移和縮放非常簡單，沒什么好說的，重點就是如何求得旋轉(zhuǎn)矩陣R，上述兩種方法就是通過純代數(shù)的方法求解R。
你用什么方法和選擇的工具有關(guān)，上述兩種方法多用在圖像處理和機器學(xué)習(xí)中，算法工程師手里的工具是集成編程環(huán)境，是代碼，采用代數(shù)方法自然是比較直接的。但要知道矩陣可是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁啊，而我們則掌握了強大的幾何工具SW，利用【旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示坐標系】這一幾何意義我們可以直接得到R，完全不需要上面繁瑣的運算。
8 X; a3 V) p, S7 ^

水水5

DaedraMech 發(fā)表于 2025-7-29 20:37
沒想到水水大俠對此問題如此孜孜以求，鉆研精神和信息獲取能力令小弟佩服，我比較功利，方法能解決問題就行 ...

  u- K/ W0 h& a  G感謝大俠的持續(xù)教誨。大俠如果有，從變換矩陣導(dǎo)出歐拉角，的計算公式，恭請再給明示下。

經(jīng)過又一個周末的摸索和學(xué)習(xí)，我已經(jīng)學(xué)到了旋轉(zhuǎn)矩陣的測量方法，并且通過計算一個點的坐標在兩個坐標系中的坐標值進行了驗證。
) H- |7 B$ a! |& p
這是第一步，下一步是求歐拉角。
8 x" ^+ |9 M) q! f
; M9 i& w& O8 n: p7 K( I1 t5 x我最終的目的是：
& A" ?, a- \8 x  k“在機器人示教工具坐標系的時候，不需要再繁瑣的用6點法搞一個小時示教，而是我作為機械工程師，可以直接從三維中計算出，通過計算，直接可以提供XYZABC的數(shù)值”
' F/ \9 q' s% \0 I4 x% g( R+ o
但是這里面有個難題，我不知道機器人工具坐標系參數(shù)他是采用的哪種形式的歐拉角
% P6 S9 n! @4 y5 P- P下圖是我的作業(yè)
2 X+ d, O8 E- b( W/ {

DaedraMech

1 z) n/ A! f3 K2 p- Z/ p. J% f歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。

/ g' b5 |. S; s; }假設(shè)你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規(guī)的Roll-Pitch-Yaw順序（ZYX順序）定義的，那我們不妨把單獨繞Z、Y、X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣從左到右依次乘起來，看看最終的旋轉(zhuǎn)矩陣里各個元素的表達式都是啥。
, u$ a" V2 J# H4 L1 s# D. F: b
從上面的結(jié)果可以看出，通過對矩陣中特定元素之間的運算，我們是能夠分離出繞特定坐標軸的轉(zhuǎn)角的，即：

5 i. [4 s3 ?& U/ A3 V6 P如果不知道示教器中歐拉角是如何定義的（并且上述順序錯誤的話），就需要再交換單軸旋轉(zhuǎn)矩陣的乘法順序，獲得新的表達式再次實驗。（也可以直接在示教器上輸入角度看機械臂到底先繞哪個軸旋轉(zhuǎn)）

: {, G+ U9 [2 I' D另外可以想象到，空間中一定存在某個軸，能夠讓坐標系一步到位，直接一次旋轉(zhuǎn)到最終位置，而這就要用到四元數(shù)。所以如果示教器還支持四元數(shù)輸入的話，也可以將旋轉(zhuǎn)矩陣轉(zhuǎn)化為四元數(shù)：

四元數(shù)中xyz表示了轉(zhuǎn)軸的方向，w表示了繞這個軸的轉(zhuǎn)角，其值為轉(zhuǎn)角的半角余弦值。


0 I% s) f  N! c/ H8 |

水水5

: x, y% I) h$ j) u' [" `: ~# B% W

DaedraMech 發(fā)表于 2025-8-6 20:03
9 F( ]; Z% n& b) N) R歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。

假設(shè)你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規(guī)的Roll-Pitch-Yaw順序（ZY ...

/ V/ a2 d/ F3 s( E; n: [  i感謝大俠的熱情回復(fù)。匯報下進展：
) |8 d( p8 Q; ?: ]1 c9 l! c0 Q1 z
* b; j2 }4 W2 V) [% m: x首先證明了旋轉(zhuǎn)矩陣是對的，第一步已經(jīng)完成，
" B/ w  r/ r1 i- E$ P- ?) E第二步，我找了那些計算歐拉角和四元數(shù)的公式，公式應(yīng)該是沒錯的。雖然歐拉角的解不唯一，但是四元數(shù)是唯一解。經(jīng)過比對，還是和示教器中的數(shù)值有一定的差距。

) o, @+ t! ?! o/ n4 }4 w$ f經(jīng)過分析，機械安裝有一定的誤差，手爪又這么長。所以至少證明了理論計算是正確的。但是實際應(yīng)用，還是要修正。免不了還是要示教一下。
1 M7 g  J$ D$ Y/ c2 ^* T  R第三步，通過咨詢得到 歐拉角的旋轉(zhuǎn)方式。還未進一步計算，等下次有機會了再實驗。
! k% p. F. |- u& ^# d
. H! h" D9 p7 D+ g! L0 q2 c這是FANUC對坐標系歐拉角的描述，市面上絕大多數(shù)機器人，都是遵循固定坐標系XYZ這樣的一個旋轉(zhuǎn)順序。
6 ~8 Z9 ~( n+ i7 W: }
0 s4 u4 D9 l( i9 |5 ^上士聞道，勤而行之；中士聞道；若存若亡；下士聞道，大笑之。不笑不足以為道。
感謝各位的技術(shù)支持，感謝論壇。
& m6 k" P0 O) x1 O, V6 e2 U) ?! a

水水5

DaedraMech 發(fā)表于 2025-8-6 20:03
/ k! v, U2 A5 Y歐拉角其實也不難求出，就是麻煩點。

假設(shè)你手上的示教器里面歐拉角就是按照常規(guī)的Roll-Pitch-Yaw順序（ZY ...

大俠有沒有 mathcad 教程 源文件？

2 h) h) s1 Q: i您給出的公式的求解，還是有點一知半解。數(shù)學(xué)沒學(xué)好，尷尬

ckc521

歐拉角旋轉(zhuǎn)很簡單的,不管是什么順規(guī)的旋轉(zhuǎn),都可以用基本旋轉(zhuǎn)矩陣推導(dǎo)出來,但是歐拉角的萬向鎖問題很煩人,雖然有算法可以解決.