常在雨中跑，如何淋最少——帝都工程師專用

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掃街

電梯直達(dá)

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發(fā)表于 2012-7-22 07:05:04 | 只看該作者 |倒序?yàn)g覽 |閱讀模式

本帖最后由掃街于 2012-7-22 07:07 編輯

昨天帝都工程師在公司干了一天的活，終于熬到可以回宿舍了，結(jié)果出門發(fā)現(xiàn)下起了大雨，而這時(shí)你既沒(méi)有帶傘又沒(méi)有人替你撐傘，在這樣的情況下如何才能使自己淋到的雨量最少呢？
有一種很自然的想法，那就是盡可能快的跑回宿舍。但是這樣也不見(jiàn)得是最好的，因?yàn)樵谀闫疵芭艿臅r(shí)候，有很多本來(lái)落不到你身上的雨滴會(huì)被你迎面撞上。那么究竟怎樣才能淋雨最少呢？奔跑速度和身體傾斜角度是兩個(gè)最關(guān)鍵因素。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們近似的認(rèn)為人體是個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng) a 寬 b 高 h。假設(shè)雨滴勻速下落，水平速度 vx（vx可正可負(fù)），豎直速度 vy。設(shè)跑步速度為 u（如圖1）。在地面上看，雨滴也在動(dòng)，人也在動(dòng)，看起來(lái)并不直觀，于是我們切換到人參考系。在人參考系中，人是靜止的，而雨滴的速度變?yōu)椋贺Q直方向 vy，水平方向 vx（如圖2）。如此一來(lái)，人應(yīng)該以怎樣的角度跑就顯而易見(jiàn)了：在人參考系內(nèi)，盡量讓自己的身體和雨下落方向保持平行就可以了（如圖3）。因?yàn)檫@樣的角度可以保證只有頭頂受雨淋，身體的其他側(cè)面不會(huì)迎面撞上雨以及被雨打上。
容易算出身體的傾角 α = arctan [ vy / (vx+u) ]。
接下面來(lái)就要確定最優(yōu)速度。假設(shè)人要走的總距離是一個(gè)定值，設(shè)為D，設(shè)在雨中被淋的時(shí)間為t，顯然 t=D/u。再假設(shè)雨滴是均勻分布的，設(shè)其質(zhì)量密度為 ρ。我們現(xiàn)在要計(jì)算落在你身上的雨水總質(zhì)量 m。有哪些雨最終是落在你身上的了呢？從圖3可以很清楚看出：以頭頂（即長(zhǎng)方體的頂面）為底面，高為 v’* t的那個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)的所有雨滴，就是落在你身上的所有雨滴。于是
m = ρV = ρa(bǔ)b * v’* t
代入 v’的具體表達(dá)式：

所以：

于是我們剩下的任務(wù)便是求出上式的極小值。學(xué)過(guò)高數(shù)的人都知道用求導(dǎo)的方法就能算出來(lái)。具體細(xì)節(jié)這里就不寫了，結(jié)論是：
當(dāng)vx ≥ 0 時(shí)，也就是迎著雨跑時(shí)，那么 m 隨著 u 的增大是一直減小的，也就是說(shuō)，跑得越快淋雨越少，當(dāng)然前提是你得按照上面的身體傾角去跑。
當(dāng)vx < 0 時(shí)，也就是雨從背后打來(lái)時(shí)，那么情況稍稍有些復(fù)雜，當(dāng) u = -vy² /vx-vx 的時(shí)候淋雨量最小。我們可以大概的估計(jì)一下 u 的值：假設(shè) vy = 3 m/s，vx = -1 m/s，得出 u = 10 m/s。這已經(jīng)是100米跑的速度了，一般人都是跑不到這么快的。當(dāng) vx 的絕對(duì)值更小一些的時(shí)候（通常情況下vx絕對(duì)值就是更小），u 的極小值將會(huì)更大。
于是可以得出最后的結(jié)論：在雨中無(wú)論什么情況，只要盡可能的快跑，身體角度就按照 α = arctan[ vy / (vx+u) ] 的角度傾斜，就可以使總淋雨量最小啦。

帝都, 如何