本帖最后由 兩岸猿聲啼不住 于 2012-9-11 11:39 編輯 9 P( s7 g' L# e! ? K3 r- k; @
7 p' F* b# u7 Q( O) V 說到這個話題，首先最好要明白，這是屬于西方科學——數學范疇的問題，既然屬于西方數學的范疇，那么你就得用它的思維方式和語言來談論，而不能用日常生活的話語來談論，大家說是不？研究唐詩宋詞你就得用古漢語，研究俳句你就得融入日本文化，那么探討這個0.9…與1的關系之類的問題，當然就得用規范的數學語言，也就是行話，大家說對吧？ 就我所知，在西方數學中，是有數系的說法的。數系最簡單的是自然數系，就是從1、2、3……等一直數下去，繼而是“比例數”系，這個比例數一定要強調，就是兩個自然數之比，現在的教材都翻譯為有理數，把人弄糊涂了。其實好像數學天才陶哲軒也是主張翻譯成“比例數”的，因為本來比例數的定義就是“自然數/自然數”，那么凡是不能用兩個自然數之比來表達的數比如√2，就叫“非比例數”，這比什么有理數無理數清楚明白多了。當初我在學校學習這個有理數無理數的時候就納悶了，既然都無理了，為什么還敢出來……搞不懂，不敢問老師，話說上學時有太多感覺不合常理的東西，都不敢問老師…… 那么回過頭來說，這個0.9…到底是指什么呢？是｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝這個無窮序列，還是單純指一個數？在這里我傾向于后者。實際上前者的形式只是為了讓人好理解而已，其目的是為了讓人明白無窮數列的極限并不包含在數列之中。 有朋友說，既然 0.1...＝1/9，那么 0.9... = 0.1... × 9 = 1/9 × 9 = 1，是再明顯不過的了，于是 0.9... = 1 得證。如果僅僅看結果而不看過程的話，即使是再高明的大數學家，對這個結果也會無話可說。但是話說回來，如果我們是那種搞粗放種植的莊戶人，我們就完全不必費那么多心思，琢磨這種細枝末節的東西，就一鋤一個坑，然后把種子撒進去，敷上土拉倒。但是這個活卻不像種莊稼那么粗糙，它就像制作機械表。我感覺，設計農用大馬力拖拉機的工程師，如果不經學習，應該設計不了精密機械表，也就是說，研究精密的東西，你得思維也得要匹配，也得要精密細致起來。 我們知道實數系里面有兩種數，一種是“比例數”，一種是“非比例數”。那么0.9...到底是比例數，還是非比例數？我反正是找不到它的比例數表達式，只好把它當作非比例數。但是0.1...=1/9，卻是一個不折不扣的比例數，還有0.3...=1/3也是。這樣一來，就能看出上面那個證明的錯誤所在了。0.1...是比例數，9也是比例數，兩個比例數相乘，怎么就能得出非比例數0.9...呢？所以那個證明，從分析的角度來看，我覺得有點似是而非。因為數學運算除了六種基本代數運算加減乘除乘方開方外，還有一種極限運算即lim運算，而后者正是所謂高等數學的基礎。說點題外話，高等數學這個名稱本身就拒人于千里之外，好像是高等人才能學的一樣…… 要嚴格探討0.9...與1的關系，就需要借助更深一層的數學思維。比方說，實數的戴德金分割，也就是數軸的分割。在一條一維數軸上，不知道有多少數，但可以肯定的是，每個數的兩邊都有數，且每兩個數之間都有無窮多個數，更讓粗思維的人困惑的是，“我們無法寫出緊挨著一個數的另一個數”，這句話里面蘊含著“連續性”的意思。比方說，緊挨著1的自然數是2，但緊挨著1的實數是多少，是1.0...（無窮個0）1嗎？在樓主看來，無窮這個詞跟無知是等價的……當然這個問題在這里不做深入討論。 我們把實數系即數軸做一個分割，也就是分成兩部分，其中左邊的數都小于右邊的數，那么這個分割的界限，根據其理論，要么是比例數，要么是非比例數。那么我們把數軸比方說分成(-∞, 1)與[1, +∞)兩部分，那么這個分割的界限就是比例數1，且這個界限屬于右區間，而不是左區間。這個時候，不知道大家注意到沒有，那就是在左區間，存在最大的數嗎？這個最大的數是多少，你能寫出來嗎？右區間最小的數是1，可左區間最大的數是多少？你在網上搜索到的這些問題的答案，都很讓人困惑，包括樓主。還有，就這個分割看來，應該是包含了全部的實數了，那么那個所謂的0.9...，肯定也是被包含在其中了。那么它是被包含在左邊還是右邊呢？顯而易見是在左邊。那么它跟1之間到底相差多少呢？從非標準分析的觀點來看，相差一個無窮小。那么為什么大家都說0.9...=1呢？而又有人說不相等呢？因為從非標準分析的觀點看來，相差一個無窮小的兩個數可以認為是等價的。但對于普通人來講，等價跟相等差別不大，所以也可以認為它們相等。就像y=x^2的導數或者說微分，或者說微商或差商的極限，嚴格來說，其表達式應該是△y/△x=2x+o(x)，但是大家都默認是y'=2x一樣，二者只相差一個無窮小。所以有學者認為微積分的精髓就是“略去高階無窮小”。明白了這其中的因由，你就能體會到那種從看山是山，到看山不是山，到最后看山又是山的感覺了。 說實話，我覺得對有志于補習一點微積分知識的初學者來說，上面說的這些簡單的提綱，如果你能明白一些，不知能給你節省多少時間，而且還是徹底清楚明白的掌握微積分，而不是云里霧里，只會查手冊套公式，套起來心里還沒底。話說外行照抄答案都不一定能抄對。當然了，在機械論壇里談這些東西，難免有賣弄的嫌疑，但我是知無不言，并且我把好多專業名詞術語給白話化了，但也有好多話題沒有展開。因為我認為思維無分貴賤，很多時候并不是作者所談的東西人家不明白，而是作者沒能說得人家能明白。當然了，如果真的一點兒基礎也沒有，也真讓別人難為其說了。 ' f" s# N2 t0 Z6 \3 M; A: }2 V2 C
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發表于 2012-9-11 11:36:45
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