杠桿原理之 “國粹”桿秤

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zerowing

電梯直達(dá)

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發(fā)表于 2013-4-28 09:46:46 | 只看該作者 |倒序?yàn)g覽 |閱讀模式

本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 編輯

這是我許諾過的最后一個(gè)題目。許諾的原因來自那個(gè)大秤秤象。
好了，我們不討論這個(gè)象應(yīng)該怎么秤，這里根據(jù)杠桿原理討論“國粹”——桿秤。
生活中，我們經(jīng)常遇見市場上小販賣菜，“你看，2斤6兩，還高高地呢！”。為什么“高高的”代表買家占了便宜呢? 我將通過這個(gè)帖子讓你真正認(rèn)識(shí)我們的“國粹”。

首先，簡單說下杠桿原理。如圖。

杠桿原理的實(shí)質(zhì)是，支撐點(diǎn)力平衡+支撐點(diǎn)力矩平衡。（注意，這里說的是一種質(zhì)點(diǎn)分析法，理想狀態(tài)。）為什么要強(qiáng)調(diào)力矩平衡？原因就是，在驗(yàn)證杠桿原理時(shí)候，支撐力是一個(gè)我們無法確認(rèn)的未知數(shù)（當(dāng)然，你可以說我把質(zhì)點(diǎn)掛在彈簧秤上），因此為了確定另一個(gè)未知數(shù)，力矩平衡是唯一的解題思路。
那么，按照杠桿理論，只要力矩平衡了，那么在適當(dāng)范圍呢，無論桿偏轉(zhuǎn)多少，原理上不都應(yīng)該平衡，即兩側(cè)力不變嗎（右圖）？呵呵，對于理想杠桿是這樣，但是，必須要說，應(yīng)用了杠桿原理的中國桿秤，其實(shí)際問題遠(yuǎn)沒這么簡單。

我們來說正題，桿秤。

分析桿秤問題，這里我將分兩個(gè)部分來討論。
1。不考慮“秤桿”本身的重力問題。只分析最簡單的兩個(gè)力。(被秤物體重力G1，秤砣重力G2）請看分析圖。

由分析圖我們可以得到下面的結(jié)論：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
推論：G1*l1=G2*l2……(4);
# ]9 w- `) u- q$ X但是我們需要注意一點(diǎn)，這是在水平情況下的結(jié)果。如果是不水平呢？如下圖。

分析圖我們可以得到下面的結(jié)論：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6);
. T: d- B6 `! I0 w                                                 M左=M右 ……(3)
9 S8 ~: s7 s6 K4 M9 @2 o                                              推論： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7);
" t7 E& X: C2 s  @# B* r. @4 n                                  聯(lián)立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即:　l2"<l20 N, ~! O& {6 L, M0 T7 m% \
                           也就是說，這種情況下，我們實(shí)際讀出的數(shù)值小于被秤物體重量。
如果換一種情況呢？秤砣位置低呢？請大家自己推理。但是我這里把結(jié)果說出來:我們實(shí)際讀出的數(shù)值大于被秤物體重量。
& \( m/ L  x4 ?% ^& c
, c* K! w: W2 m. o2。考慮“秤桿”本身重力問題。（新增秤桿重力G4）
同樣，按照之前的方法分析。
水平態(tài)：

                                                M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3)
                                    推論：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10);
                                 因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
9 o5 F( t$ t# _' w: p: B
對于非水平態(tài)：

                                             M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); ! \9 b5 w! h8 H' }
                                             M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3)
         聯(lián)立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2+ }4 g# h, [0 b1 q4 O% X/ F, ^
                        結(jié)合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2
( N, \) m1 k. ~8 K) p+ T% l                                        即: l2"<<l2…… (14)

也就是說，這種情況下，我們實(shí)際讀出的數(shù)值遠(yuǎn)小于被秤物體重量。而且，桿自身重量越大，這個(gè)誤差就越大；桿越粗，這個(gè)誤差也越大！! y2 z; ~: _6 H$ U& ^0 Y) v

以上，希望大家喜歡。' M& G1 l2 J& j: }; e: H& ~
% [ Q. u; j) ` |8 T; e& m
PS。發(fā)現(xiàn)里面有些過程的設(shè)定可能不大合理，做了優(yōu)化，但不影響結(jié)果。