1 問題的提出
插銑法又稱Z軸銑削法，其工作方式類似于鉆削，刀具沿主軸方向做進給運動，利用底部的切削刃進行鉆、銑組合切削。插銑加工法的原理圖如圖1所示。
圖1 插銑加工法原理圖
插銑加工法是復雜曲面金屬切削實現高切除率最有效的方法之一，被廣泛應用在具有垂直側壁的零件切削上。插銑法的加工效率遠高于常規的銑削方法，可以快速切除大量金屬材料。此外，插銑加工還具有以下優點：
①側向力小，減小了零件變形；
②加工中作用于銑床的徑向切削力較低，使主軸剛度不高的機床仍可使用而不影響工件的加工質量；
③刀具懸伸長度較大，適合對工件深槽的表面進行銑削加工并延長刀具使用壽命，也適用于對高溫合金等難切削材料進行切槽加工。
雖然插銑加工擁有許多優勢，但是過去和當前對銑削加工的研究主要集中在使用端銑刀加工雕塑曲面時的優化問題。很少見到對插銑加工刀具路徑規劃的研究。
Ocfill(over-lapped circles filling)算法生成插銑加工的刀具軌跡，較好地解決了二維區域內的插銑加工刀具路徑的生成問題。但是該算法不能對刀軸進行控制(只能應用在三坐標機床加工中)，無法針對具有扭曲型腔的零件生成插銑加工路徑。提出了一個插銑加工的機械和動力學時間域模型，但也只應用在三坐標銑削加工上。
在工業生產中，有一類零件必須用五坐標機床才能進行加工，葉輪類零件就是典型的代表。
傳統的葉輪加工工藝規劃方案一般包括開槽、擴槽和精加工，其中開槽、擴槽部分相當于一般的粗加工階段。大部分采用錐形球頭銑刀，先在流道的中間部分進行開槽，然后采用側銑法從流道中心向兩邊逐步擴展，直到滿足葉片粗加工的余量要求為止，最后再采用側銑或點銑法完成葉片的精加工。有資料表明，開槽、擴槽階段的材料去除量很大，約為60％～90％，因此粗加工的效率和工藝的優劣對縮短加工周期及降低加工成本具有重要的意義。
綜合葉輪零件粗加工所面臨的問題和插銑加工的特點，很自然地就能想到插銑法是葉輪類零件粗加工的首選方案。進行了開式整體葉盤的通道插銑粗加工技術的研究，利用直紋面逼近葉輪的葉型曲面，通過連接刀心和刀軸上的對應點，規劃刀具軌跡。但是該方法沒有考慮行距、步距的計算準則，無法保證插銑加工的材料去除率和加工效率(生成的刀具軌跡不一定最短)，而且該文獻采用對UG軟件的二次開發實現其算法，沒有形成擁有自主產權的計算機輔助制造(Computer Aided Manufacturing，CAM)軟件，對插銑加工深層次的研究不利。
現階段一些典型的商用CAM軟件如UG，MasterCAM等雖然提供了部分插銑功能，但通常這些功能只能在三坐標機床上完成插銑加工，對像葉輪這樣的窄流道、葉片扭曲大和深型腔，需要用五坐標機床才能完成加工的工件無能為力。因此，本文在研究復雜型腔插銑算法的基礎上，自主開發了葉輪零件數控加工專用計算機輔助設計(Computer Aided Design，CAD)／CAM軟件，提供了五坐標插銑加工功能，對開發擁有自主知識產權的CAD／CAM系統有一定的借鑒意義。
綜合上述問題和情況，本文著力解決葉輪類零件的五坐標插銑加工的若干關鍵技術，包括：
①插銑邊界矢量的生成；
②邊界矢量之間的插值算法；
③行距、步距的確定。另外，本文還給出了在VERICUT仿真軟件中的仿真效果和實際的加工實驗，以驗證本算法的可行性。
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2 插銑加工算法
在工業生產中所用的葉輪類零件的流道(型腔)形狀通常比較復雜(如圖2)，因此在生成刀具軌跡時，要求CAM軟件對刀軸的控制能力非常高，既要保證插銑路徑均勻分布，又要保證刀具不同葉片表面發生干涉。下面對插銑加工算法進行詳細介紹，這些算法構成了插銑加工的關鍵技術。
圖2 被加工葉輪零件CAD模型
2.1 邊界矢量的生成
對于葉片形狀為自由曲面的葉輪，可以采用將自由曲面擬合成直紋面。因此，本文只討論直紋面葉輪邊界矢量的生成。
在本文提出的插銑加工算法中，邊界矢量的生成具有十分重要的意義。邊界矢量既可以保證刀具與葉片曲面不發生干涉和過切現象(在本算法中是應用葉片直紋面的偏置面生成的，不會干涉)，同時又是2.2節邊界矢量的插值算法進行插值所依據的參照矢量，因此非常重要。邊界矢量生成的基本原理如下：
在工程中，直紋面參數方程的表達方式為
式中：w(u)和Q(u)分別為直紋面葉片的葉頂線和葉根線，U和v分別為u向和v向的參數。根據上述定義，可以繪制如圖3所示的邊界矢量計算原理圖。
圖3 邊界矢量計算原理圖
參考圖3，由三角形的幾何關系，最終可以推出如下方程組：
式中：R為刀具半徑，L為圖3中P1P2的長度，γ為P1C1和P2C2的夾角，α為P1C1和C1C2的夾角，d為刀具相對葉片的偏移距離。該方程組是一個非線性二元方程組，其中a和d為未知數，關于該方程組的詳細推導步驟。通過解方程組求得的a和d，就可以計算出偏離直紋面指定距離的矢量(即邊界矢量)。
本文邊界矢量的生成要依據吸力面和壓力面通過偏移一個刀具半徑來計算，同時為了給精加工留有余量，在偏移刀具半徑的基礎上，再偏移一個加工余量(本文余量為0.1mm)計算得到。依據上述算法計算得到的邊界矢量如圖4所示，接下來應用2.2節的算法對這些邊界矢量進行插值。
圖4 邊界矢量計算結果圖
! y; ^: _; l5 L5 }3 U 2.2 邊界矢量的插值算法 本算法的關鍵部分是在邊界矢量之間均勻地填充(插值)矢量作為插銑加工的刀軸方位，從而在2.1節已生成邊界矢量的情況下，通過對邊界矢量進行合理插值，最終完成對邊界矢量所包圍的型腔(對葉輪來說即為流道)的加工。這里最關鍵的是對邊界矢量的插值要合理。
這是因為均勻的切除量對插銑加工很重要，插銑是靠刀具的邊緣沿著Z軸的方向從上到下啃切，插值矢量之間均勻的分布可以保證插銑加工中的側吃刀量恒定，如圖1所示。
為生成均勻側吃刀量，本文在對比了多種插值方法的基礎上，將四元數插值法引入到插銑葉輪流道的刀具軌跡規劃算法中，較好地解決了插銑過程中均勻切除量刀具路徑生成的問題。下面將詳細介紹四元數法生成均勻切除量的刀具軌跡算法。
在五坐標插銑加工刀具軌跡生成算法中，最重要的是控制刀軸矢量，而刀軸矢量代表了旋轉方向，因此依據邊界刀軸矢量的插值實際上是一種剛體旋轉運動的插值算法。如前所述，旋轉控制得越均勻，插銑過程中的吃刀量也就越均勻。
在理論界，旋轉運動有多種表示方式，如歐拉角定義方式、旋轉矩陣定義方式和四元數方式。
傳統上通常使用正交矩陣代表歐拉角來描述旋轉運動，這是由于剛體繞X，Y和Z軸的旋轉矩陣形式簡單且應用廣泛，但使用歐拉角和旋轉矩陣的方式來定義旋轉運動存在如下缺陷：
①缺乏直觀性，直觀上歐拉角和旋轉矩陣不能明確地看出物體的方位；
②歐拉角和旋轉矩陣在有些情況下會丟失一個自由度，在這種情況下，一個方向對應多個旋轉，從而產生萬向鎖問題；
③實現插值比較困難；
④對旋轉的表達不明確，給定一個旋轉矩陣，無法反求其所代表的旋轉；
⑤表達形式存在冗余，如正交旋轉矩陣的表達方式中存在冗余數據。
四元數恰恰彌補了歐拉角和旋轉矩陣的不足：
①幾何特征明顯；
②獨立于坐標系；
③插值算法簡單；
④表達形式緊湊；
⑤不存在萬向鎖問題；
⑥組合旋轉容易(只需將兩個四元數相乘)。
因此，本文采用四元數來描述旋轉運動。
四元數的定義包含一個標量分量和一個三維分量，通常將標量分量記為W，將向量分量記為單一的v或分開的x，y和z，表示為［w，x，y，z］或［w，v］。目前，四元數的加、減、乘、除的標準運算已有定義。本文中，對插銑加工生成插值的刀軸矢量最有用的運算是球坐標線性插值(Slerp)。Slerp可以在兩個四元數(代表旋轉，本文即刀軸矢量)之間進行平滑插值，這是普通的插值如線性插值(Lerp)所辦不到的。為了比較Lerp和Slerp，下面給出其公式。普通的線性插值公式為
Slerp的插值公式為
式中：h為插值參數，q0和q1表示四元數，q0-1表示四元數的倒數，其計算公式為
式中：q0*表示四元數的共軛；‖q0‖表示四元數的模。
在平面內，利用式(3)和式(4)，針對Lerp插值和Slerp插值的結果如圖5所示。可以看出，Slerp的插值結果分布得更均勻(均分了整個圓弧)，可以保證插銑過程中側吃刀量一直保持均勻。
圖5 Lerp和Slerp插值算法比較
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2.3 行距和步距的計算 即便確定了插值算法，可以想象，如果邊界矢量的插值過于稀疏，則在插銑加工后，流道中的金屬殘留量會過大，甚至會在兩個相鄰插銑刀具路徑之間出現高聳的殘留金屬的情況；但插值的刀軸矢量也不能過于稠密，過于稠密雖然能夠得到較好的插銑加工表面，但由于走刀次數太多，使得插銑的優勢喪失殆盡。因此，行距和步距的確定也是至關重要的。
在傳統的三坐標插銑加工中(如圖1)，行距和步距的確定相對比較容易，而在五坐標加工中，行距和步距的確定就變得困難了。這是由于相鄰插銑刀具路徑之間刀軸角度的變化導致切削范圍為一個不規則的錐形區域，使計算比較繁瑣和困難。多坐標插銑加工不規則錐形區域原理圖如圖6所示。圖6中，令兩個相鄰插銑工步刀心點的坐標為Ol和O2，型腔上表面到刀心點的連線距離為L，兩個相鄰插銑工步的刀具邊緣的交點為B，過B點做刀軸矢量的垂線并同刀軸矢量相交于P1，P2點，則
式中R為刀具半徑。將BP1O1O2P2所包圍形成的五邊形提取出來，如圖7所示。
圖6 多坐標插銑加工不規則錐形區域原理圖
圖7 行距、步距計算原理圖
在圖7中，令C為O1O2連線的中點，│O1O2│=H，過C做BP1的垂線交于D點，過O1點做面的垂線交于E點，將相鄰工步的刀軸矢量的夾角命名為傾角距，用β表示。由于BD+DP=R，在△CBD和△CO1E中，根據三角幾何關系，可以得到等式
又根據插值原理(如圖4)，令每一行邊界矢量的夾角為A，邊界矢量刀心點之間的距離為H0，因為插值算法要在邊界矢量之間進行均勻插值，即步距要相同，傾角距也要相同，二者成比例，則可以得到等式
聯立式(7)和式(8)，得到一個二元非線性方程組
式中：L，R，A，H0為已知數，β和H為未知數。由于這是一個二元非線性方程組，無法手工求得結果，只能采用數值分析中的擬牛頓法才能計算出結果。
求得β和H的值后，就得到了平均步距和傾角距，在行方向的插值結果就確定了。
在列方向的插值結果，即行距的計算原理同步距的計算方法相同，只是被插值的矢量不是每一行的邊界矢量，而是葉片兩端的邊界矢量。H0的長度也應該是葉片輪轂面曲線的長度。
3 刀軸矢量和輪轂面的求交算法
在2.3節中解決了插銑加工的刀軸矢量的計算方法。雖然刀軸矢量的計算方法在五坐標插銑加工刀具軌跡規劃算法中占有十分重要的地位，但是刀心點的計算也是非常重要的。如果沒有刀心點的計算，就無法得到插銑加工的插銑深度，也是不能應用到工程實際中的。本章將介紹刀心點的計算方法。
刀心點計算的基本原理是求取刀軸矢量(空間直線)和輪轂面的偏移面(本例為圓弧截面輪轂面的偏移面)的交點。
在計算幾何領域內，求交點的計算方法很多，由于本文葉輪的輪轂截面為圓弧截面，采用解析幾何的方法來計算交點。
根據計算幾何的基本原理，一圓弧截面繞Z軸旋轉后的曲面方程可以表示為
刀軸矢量抽象成的空間直線的方程為
將方程(11)帶入方程(10)中，可以得到如下一元二次非線性方程：
該方程形式雖然比較復雜，但是因為只是關于參數t的一元二次方程，所以簡單地應用數值分析中的對分法就能夠求得其結果t。將t帶入式(11)，可求得輪轂面的偏移面與刀軸矢量的交點，即插銑加工該工步的刀心點坐標。
4 仿真和實際加工驗證
應用上述刀軸矢量和刀心點的計算方法，本文開發了葉輪銑削加工專用CAD／CAM軟件，軟件包括插值曲線和曲面造型功能、擬合曲線和曲面造型功能、側銑加工刀具軌跡規劃算法、點銑加工刀具軌跡規劃算法、插銑加工刀具軌跡規劃算法、后置處理功能等。應用本軟件，可以直接生成葉輪類零件的五坐標插銑加工刀具軌跡。圖4所示為應用本CAM軟件對葉輪的造型結果。
通常葉輪類零件具有幾何對稱性，只要生成一個流道的刀具軌跡，其余流道的刀具軌跡都可以通過旋轉和復制生成。因此本文只依據一個流道生成刀具軌跡，其余通過復制就可以了。依據本文所提出的插銑刀具軌跡規劃算法，計算出的刀具軌跡如圖8所示。
圖8 插銑加工生成的刀具路徑
由于五坐標加工比較復雜，為防止在實際加工中造成過切和干涉問題，在機床上進行實際加工之前，通常借助計算機軟件進行刀具軌跡的仿真驗證，檢查刀具軌跡和后置處理是否正確。本文采用VERICUT軟件驗證本CAM軟件生成的刀具軌跡(如圖9)，并分別仿真了插銑加工中的抬刀和插銑加工過程。
圖9 仿真加工中抬刀和插銑加工
: A0 l) _; Q3 C3 n8 c9 d4 r' J另外，由于插銑加工的特殊性，單純利用VERICUT無法對刀具和被加工材料之間的切削作用和效果進行仿真，必須進行實際的切削實驗，才能夠驗證本文的插銑加工算法是否可行。為此，本文在一臺旋轉軸為B，C的五坐標機床上進行了實際切削加工實驗，如圖10和圖11所示，分別為流道加工和葉輪成品的圖片。加工過程中采用的刀具為直徑6mm的球頭銑刀。 圖10 最后一個流道加工圖
圈11 插銑加工生成的刀具路徑
圖10為最后一個流道插銑加工中的一個工步，圖11為插銑粗加工完成后的葉輪零件。不同于普通銑削方法，插銑加工完成后的葉輪輪轂面呈現魚鱗狀的刀痕，而不是呈放射線形狀的軌跡。
該葉輪一個流道的加工時間為30min左右，再加上精加工的時間，不超過50min。而采用傳統的方法，在本機床上，采用相同的刀具和相同的進給速度，至少需要1h，可見插銑加工方法在一定程度上提高了加工效率。
5 結束語
本文提出了葉輪類零件五坐標插銑加工的刀具軌跡生成算法，應用四元數球坐標插值方法計算了五坐標插銑加工中的插值刀軸矢量，重點解決了多坐標插銑加工中行距和步距的計算方法，并自主開發了葉輪類零件插銑加工專用CAD/CAM軟件。利用該軟件生成了某葉輪零件的插銑加工刀具軌跡，在VERICUT仿真加工軟件中進行了仿真加工驗證，并在B，C旋轉軸的五坐標機床上進行了實際插銑加工實驗。仿真和加工實驗證明，本插銑加工算法兼顧了葉輪零件粗加工的材料去除率和加工效率，為葉輪零件的粗加工工藝提供了新的選擇方案。
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發表于 2014-3-25 19:21:23
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