請教：關于凸輪無因次方程的問題

luxiang821

7 r7 x% E3 S0 r- T9 I: Q
- N' a: m/ X' H% w. c$ K

看了壇子里大俠都在高談凸輪，小菜鳥也想附庸風雅一下，找了《自動機械的凸輪機構設計》和《自動機械機構學[1].[日]牧野 洋》想從零開始。沒想到看到凸輪曲線的無因次化，就理解不了了。下面是無因次參數定義

/ N& _( ~) H$ z) T0 h
對于等速運動用運動學基本公式，可以推出

$ t5 V9 U) `6 t
2 v& C% m$ F, F( z: R2 F但是對于等加速度運動的描述
6 `( m: _$ ^3 l0 o
卻死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不對還是怎么回事，請大嬸不吝指教。
! Z4 K( V- y+ e$ d這還只是基本曲線都搞不定，后面還怎么進行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鵬.G 發表于 2014-11-17 16:27
( m* |- z9 b+ f* z8 Y( s9 ^無因次化，也叫無量綱化。其實就是個偏微分過程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》論述的細一些

$ W" y( e: M0 B/ ~1 a4 k% q大俠，你在論壇上分享過這本書，我也下載了，英文太差，所以先看的中文的凸輪書籍，捧佛腳也來不及了
! ]! {- V, {0 n2 x大俠能否指點一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我發現書上都是先有的S函數然后有V、A、J
由S函數對T求導，得出V、A、J，很好理解，問題是S函數怎么來的呢，拿我舉例，等加速度運動規律的S函數是怎么來的呢？
! }' V5 j8 o5 j還請大俠幫忙解惑？

米fans

luxiang821 發表于 2014-11-17 16:45
大俠，你在論壇上分享過這本書，我也下載了，英文太差，所以先看的中文的凸輪書籍，捧佛腳也來不及了
大 ...

2 B5 C0 a( H. M' G我建議大蝦還是先從數學看起吧。一切原因都得從數學的角度來思考。說白了，就是用數學思維去理解就好了。看完數學，再來理解這些公式，你就會有一種茅塞頓開的感覺。以前上學哪會，看老師寫得滿滿的公式，天書一樣。后來陪同學一起考研，把數學又研究了一下，再看這些曲線方程，一下子就明白了。
- l) U: ^5 ]( @8 ~. V( W

luxiang821

按hoot6335 大俠的說法，是先有的V、A、J要求才推出的S函數，順序和我理解的是反的。
9 z0 v6 L! @0 Z( A& |; X7 _7 U- m那還請教hoot6335 大俠，A=4又是怎么來的呢？而且是最小，為什么不能有A=2或者A=3
$ H* v9 a: L% w! U3 U或許我的問題太小白了，剛開始自學凸輪理論知識，還請大俠指教！@hoot6335   

hoot6335

( m( ?) O! ^1 E4 K7 Y

luxiang821 發表于 2014-11-18 11:06
( G) o8 u7 u4 W按hoot6335 大俠的說法，是先有的V、A、J要求才推出的S函數，順序和我理解的是反的。
那還請教hoot6335 大 ...

9 B+ t0 w; k9 a  y1 E- y. a
大俠，關于理解順序的問題，說明如下：
1.對于設計一個凸輪機構來講，在沒有現成參考借鑒的情況下，到底“采用何種運動規律才更合適？”這是設計人員最終要解決的問題。
* d, N7 [; c( d, ]9 S" @* H2.現有的幾大系列的運動規律主要是：多項式、三角函數以及拼接函數（其他曲線比較特殊不在討論之列）。
3.要解決以上三大系列的運動規律，都是有一定“套路”的——即都有現成的數學模型。
# C: d  z+ |% k  v, U4.明白了以上3點，那么現在就可以理解我講的“先有V\A，再有S”的目的——對于某一設計實例，要先分析該設備對凸輪有哪些要求：除了基本的A連續外，需要對V有控制嗎？此外，有沒必要J也需要連續？等等一系列問題。設計時把這些問題都搞清了之后，畫出加速度A的草圖，并根據草圖把加速度A的“數學表達式”——即模型寫出來。最后，根據“A的數學表達式”，對時間T求積分，推導出S曲線。
# a) Z1 `# `9 g- j4 G3 ]% G5.關于”理解順序“的問題，可能并不是大俠關心的主要問題，俺說這么多就夠了。

; q9 T! G! d5 f; I回到本貼，大俠困惑的實際上就是”等加速等減速“曲線的推導。主要思路如下：
1 M/ ]2 L' J1 Z$ w1.”等加速等減速“的實質是——其S曲線是2次多項式。明白了這點就可以直接寫出S的數學表達式，而不再需要根據A來倒推。
2.”2次多項式“的通用表達式為：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
3.對s(t)分別求一次導數，二次導數，可以推出:
9 I; h0 K2 C9 x4 \1 P6 [+ ]9 ^5 k                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
$ M+ w* w$ b% `6 p                                           a=2*C2*w^2
( A; p4 f8 v, O+ e2 @4.已知邊界條件(前提假設：加速段與減速段各占整個行程的1/2。當然也可以不是1/2。)：
7 [7 N2 e. j" J0 o                       加速段邊界條件：
$ X4 n' I; V2 c                            在起始點     δ=0，s=0,v=0
                            在終點        δ=δ0/2，s=h/2
                        減速段邊界條件：
4 |$ e& f# A* v" K                             在起始點     δ=δ0/2，s=h/2
                             在終點        δ=δ0，s=h，v=0
" @6 ~& x1 r0 M& W* h% W0 B2 _! L
. d& P( k% A+ E: \5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
1 S" m6 d0 R5 o6.所以，”等加速等減速“曲線的完整方程是分段函數：
                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
                             v=4*h*w*δ/δ0^2
                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        減速段：
                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
% U5 k7 }" N$ q; }                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
5 t: I1 j4 F) Y4 }; x0 z# d                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量綱的公式，下面開始無量綱化。
# |, E8 U1 U! i8.定義無量綱 ，注：大寫字母為無量綱，小寫字母為有量綱。th：整個位移S升程h所用的時間，
; V, l) K5 A* [% r7 ~                        T=t/th   
8 I' q+ z* E: ^' V" H) O                        S=s/h   
' z4 Q! Q; [; P5 o7 o# y9.在6 的有量綱公式S的表達式中 ，我們發現，”δ/δ0“表示了”凸輪的轉角δ與整個推程區間角δ0的比例關系“ ;
" e* [3 e' x  S   另已方面，在8的無量綱公式中， ”t/th“表示了””凸輪的轉過δ角的時間t與整個推程時間th的比例關系“ ;
   而這兩者是等價的，所有我們用無量T直接代入6的有量綱公式S的表達式中，取代”δ/δ0“，進行對S的無量綱化。
10.根據9的思路，同時把8中的無量綱S轉化為s=S*h，代入6的有量綱公式S的表達式中，可以得到S的無量綱方程為：
" v( D6 B" a" h% f: I                     加速度段：
                              S*h=2*h*T^2
8 E" J4 @9 K6 P8 O( G5 J6 ~' U      (兩邊約去h)→  S=2*T^2          ——即S的無量綱方程
11.對S(T)分別求一次、二次導數，即可得：
  L) A1 t5 s# f+ M3 g7 t                             無量綱 V=4*T
+ }' X. `* K, h5 ?$ J; I$ u6 Y                             無量綱 A=4
12.推導完成。以上只演示了在”加速度段“的無量綱化的過程，即LZ大俠附件圖片中的 0≤T≤0.5區間段。
' D! @, d. r/ a* @- X  ]     全手打，寫公式累， 至于在0.5≤T≤1區間段，LZ可按如上思路自推導。
13.注：需要說明的是，本貼”等加速等減速“的假設前提是：加/減速段各占1/2，即所謂的對稱。
     若不對稱呢？當0≤T≤2/3，2/3≤T≤1時，該”等加速等減速“的A是否還是A=4呢。有興趣的可自行驗證，就當練手好了。
- A+ U- B! `: j14.LZ大俠的另一個問題，”為什么不能A=2或3？“。要講請這個問題，就要擴展往下講”曲線的優化“的問題了。
! x# E1 |7 Y* G) f+ t& {6 r. D     以上純屬個人理解，若有不對之處，望海涵。
* h& [) z# O/ v                           
                           

3 N) }* g5 |$ ?" L* y; \2 a            
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luxiang821

hoot6335 發表于 2014-11-18 13:32
4 R; z( g, P" e( D大俠，關于理解順序的問題，說明如下：
1.對于設計一個凸輪機構來講，在沒有現成參考借鑒的情況下，到 ...

非常感謝hoot6335大俠這么有耐心、辛苦碼字！
9 g% V9 V8 \2 w+ j經大俠細致解答我總算明白了，無因次方程的內在關系。
米fans大俠說的對，用二項式表達曲線方程確實是數學方面比較基礎的東西。
3 e. f5 r2 ^( Y5 R( Q8 j看來我真得惡補一下相關數學知識，尤其我看書喜歡刨根問底，到了強迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就進行不下去了。之前看《機構設計--分析綜合》里，關于凸輪運動規律的推導也是用
. Q8 }$ W4 Q; _: k+ u  E5 H角度，沒有仔細推敲和時間的聯系。經大俠這么一說茅塞頓開啊。再次感謝！

米fans

米fans 發表于 2014-11-17 20:53
% X& c/ D% x% _3 s我建議大蝦還是先從數學看起吧。一切原因都得從數學的角度來思考。說白了，就是用數學思維去理解就好了。 ...

相互學習哈。 我覺得你第一步應該把高等數學仔細的看一遍，個人覺得很有必要。應該占不了多久。然后回過頭來想想剛體的運動過程中，如何減小沖擊（函數的連續光滑可導性等若干問題），慣量以及的問題。還有就是力學分析（比如尖端從動件受力分析時，會用到瞬心定理（這個你得明白吧，最基礎的東西）。還有高速六次七次曲線、組合曲線，讓你來設計，你會怎么做？怎樣去優化，才能讓運動更穩定，壽命更高。回過頭去看看高等數學和大學物理吧，真的很有必要，磨刀不誤砍柴工。