5 l3 C" U5 b; ]1 d2 _5 ?凸面和均質(zhì)是GOMBOC (字母O上面有來年各個小點哦)的主要特性。( G% U& [4 l/ I) {9 f7 r
不倒翁是非均質(zhì)物體擁有GOMBOC一樣行為的簡單例子。
$ Q q4 H$ u' X6 v' g- L0 O& M同樣，因為凹面體不能通過表面圓周滾動，也很容易創(chuàng)造出GOMBOC均質(zhì)凹面體- W0 T, |: l# b
$ C+ i& U; g* F- w
![]() 9 l: M! o: h3 c+ b8 E( z. p: z e
凹面GOMBOC 平面圖.
$ `! `% H: I& [0 B P* W8 `& S3 F* s% Y4 ]$ t$ q
只擁有唯一一個穩(wěn)定平衡點的形狀稱作單靜態(tài)體，同時擁有另外一個非穩(wěn)定平衡點的稱為單一單靜態(tài)體。$ m# B$ w- f$ o4 z, e/ a
GOMBOC是第一個凸面均質(zhì)單一單靜態(tài)體。
/ o9 j' B$ _8 Y! i$ ~
; x; T% C: P( a8 w+ E( z) Z* J2 k5 V7 \; a A( |4 C
平面GOMBOC/ [2 j% c4 u2 O# o0 ~# I
4 ?6 F$ K( @0 w3 P/ l l7 E
由于物體重心(G)作用，平面凸形在極坐標系中規(guī)定為函數(shù)R(a)。
7 ]. N) H% I9 s: ~
# B' [. {* {9 v在水平面上，所有物體都朝著重心降低的方向滾動。 R隨著地面降低而變小。 ! I; z3 s; C) v2 ~8 @
- {( G4 k' t t. h9 Q0 E1 }當dR/da = 0時出現(xiàn)平衡點。R (d2R/da2 > 0)為最小值時，是穩(wěn)定平衡點，當R（(d2R/da2 < 0)為最大值時，是非穩(wěn)定平衡點。R最小值后出現(xiàn)轉(zhuǎn)而最大值，反之亦然。因此，出現(xiàn)穩(wěn)定平衡點和非穩(wěn)定平衡點次數(shù)相當。另外，下面原理也可以被證明： # c7 S C: \8 x5 I6 [
+ } e0 f5 u# p. o* A4 E0 R% R3 W6 P$ [/ H5 p
原理 1:8 N; J3 Q6 R- s
所有平面凸均質(zhì)體至少有2個穩(wěn)定和2個非穩(wěn)定平衡點。
% K, H/ _& ? d x4 `' q# s+ I3 g7 u
如果物體只有一個平衡點，相應(yīng)函數(shù)R(a)圖就只能有一個最大值和最小值。 ! V) p G e) y' ^% o
用直線 R = R0 將物體分成兩部分，函數(shù) R > R0 和 R < R0 具有相等（(長度 p)水平投影。 + _- `9 e2 D0 C- b n
- G( \# g/ }# m$ _相當于穿過重心G的直線相應(yīng)把物體切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)兩部分，
1 t8 N1 n$ K+ J支撐面沿著直線。+ V( |6 W3 u/ U- q! p, d
但是達到平衡的條件是G點不在直線上，應(yīng)該在厚點的這半部分，這與之前所述G點在直線上相矛盾，由此得出原理1正確。
/ y8 Q; Y8 ?# ?. `
+ I. H3 S6 A# S$ ]: t+ C% o
8 w% ]* T: V5 U% x. g- E! t
7 n0 f/ ?2 C2 U0 {3 t5 P1 s1 a$ ?編號為 R(a)的函數(shù)圖（右）以及相對應(yīng)的物體（左）
7 {! h& u1 _3 G, H正如我們所證明的，不存在平面的GOMBOC型物體。這個令人驚訝的簡單事實是典型數(shù)學原理的物理模擬：
) }5 Q+ U+ _& ?& F8 h* b6 o3 X四頂點定理:: 一條簡單封閉曲線曲率至少有四個局部極值
5 a9 Y. g& p; U7 B2 e8 l6 t, ]* P. a% }5 Q8 X ~$ T
! }+ I/ Q; O3 `+ r+ K: v( r Q& U6 x有關(guān)四頂點定理有眾多的概括和相關(guān)幾何定理，有時這些統(tǒng)稱為四頂點定理。
2 g9 J! }; C0 S! ^) J如果不存在三維GOMBOC，這個事實將成為四頂點定理家族中的又一新成員。 ^# d; A- h* K7 s7 f4 L
+ B3 c1 N2 ?; d, B T
有關(guān)GOMBOC的基本概念
# i! W$ i7 A* C( x) N+ {$ r. g; P: O7 G8 N: i
f" w) d! J' }; ]1 A5 B9 E
( R' H3 s2 l: z4 H7 M' @) w: M類似于平面物體，三維體可以定義為重心作用下球坐標系中的函數(shù)R(j,q)
+ W4 g: x8 J1 F, c/ O+ R# f; R3 _ Q2 D [
! a! [5 f' T g; I, O
9 M1 A+ T' `; h4 ~: [三維體在球面坐標系中的定義4 F: H) v: l0 R, f0 f4 V0 K4 b
4 m6 [# _3 B1 x# b
% C4 F2 W! p( p) O( @
區(qū)域最小值和最大值R對應(yīng)穩(wěn)定平衡點和非穩(wěn)定平衡點，物體在R的鞍部還有另外一個平衡點。
' Q& ~; s5 n! S8 }根據(jù)龐加萊-霍普夫（Poincaré-Hopf）理論，球體內(nèi)所有同型物體，在這三種情況下，平衡值（由s, u, t,分別代表）都滿足s + u - t = 2。定理1的三種假定情況： 8 D3 U6 z- g2 C" T: j+ X0 j8 F
! O6 Q8 K/ d+ M9 ^! s7 f3 t2 u- N- m8 m: [ }! X
- U7 g' d8 w/ P( B* k
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,; F8 y- l! ^% v/ J' O
6 M0 o6 {( Q2 k3 B8 h
a) 和 b)很容易被駁倒
" M6 P! O, B6 h& L) R3 ns = t = 1, u = 2時，s > 1為否，
% o9 o+ m, F8 w' L( ^$ g
) w( `. a3 n W* P* \' Q. D
+ A9 r' h% L0 k4 l& w- d5 n& C& V2 }
- |6 x/ ^$ f6 z. X% h) W5 c# v' f2 H& {: b2 a o9 X3 s* V
% y5 X4 W7 s/ n3 i
i > 1 時 u = t = 1, s = 24 w( E0 o4 Y7 p( [8 I2 ~1 b( s* J
9 a0 j$ X2 W% B1 M) L
7 ^ }9 P) x7 O2 ]$ U% J( \/ `
2 S' I( f: g( o) B! {
( M) Y: Q+ [& U6 l
$ F `; U- b- `$ e9 f第三種情況可能性存在于Gömböc本身：是否存在三維凸面均質(zhì)s = u =1（t=0）的物體？( H$ F6 B1 A9 Q* W* G( Q& q% z% E
我們可以進一步延伸平面理論來證明這種物體存在的不可能性。* R' n6 t' ^( A0 Q
假設(shè)存在這種形狀物體，對應(yīng)函數(shù)R(j,q)就只能有一個最小值和一個最大值。$ n$ B8 Q5 A @. d3 o- _
平面物體用R = R0分割成薄厚相同尺寸的兩部分（以重心點G作為分割，兩部分的空間角度相同）。9 w6 ]% b, U: l1 W7 }( I3 d" b3 Z; V
如果切割的線條是平面曲線（如：圓），則得出類似二維體的矛盾。
9 Z2 O, H% ^4 L, {7 ^如果是空間曲線，則是類似網(wǎng)球的曲線。
9 F4 R! ]9 a W2 _, Z7 B2 n5 O2 Z物體分割成上下厚薄兩部分，無法證明G點一定在上半部分。, K: }3 w; F+ A
由此得出平面理論并不適用于三維體。
/ G% Q# F; b" _2 Z4 N7 o
+ r% n. C; b5 O" h% l; S3 w+ h' q
7 ^2 ?7 y0 m- W }" `, K
% Q% J0 Y4 j( h5 F% V l1 ]: i/ r! w
分割單一單靜態(tài)體厚（黃色）薄（綠色）兩部分的直線是有可能，但并不一定在一個平面上。 , `7 j" {( n8 b6 R' d
0 F0 _) k* X( u6 ]
論證的失敗為GOMBOC的空間形狀提供了新的想法。' [5 O8 i1 q T! B
運用雙參數(shù)閉合公式，可以分析出適當參數(shù)值得出s = u = 1物體。
@* C6 l7 m# t' f W( L+ r受凸面體限制，構(gòu)造出的物體近似于球體。
; X: y5 F. M. i: b! Z構(gòu)造出的形狀可以從理論推斷出存在GOMBOC可能性，但是否具有單一單靜態(tài)體（從視覺上可以明顯看出）特性仍然是個疑問。
" Q1 B% E. A8 B+ @1 w0 ]& b% ^
7 V9 W; }2 J- X, a, j. O9 N
1 s3 r: [. E* }1 K/ m, M
4 s2 p7 U- r7 w6 F5 w/ P; r1 I- V( T- F
, }# j* `; t3 g( c
應(yīng)用于論證的雙參數(shù)物體圖形 + ^3 c8 T+ A8 k1 E
6 {% i1 \/ K( N$ ~* ]
“真正的"GOMBOC4 w% h! |/ D! @% S# k' e5 X8 K
# Q* Z& A: f$ d* ?" W& e通過理論論證為什么不能找到一個具有特殊形狀的物體？9 {: W; L" g5 s5 V" V4 |9 c/ t1 u$ j
是因為論證公式不好還是因為失敗背后隱藏著更深層的原因？
1 W4 a" k& c' EGOMBOC具有類似球體的形狀，但在羅得島上2000多個卵石中也沒能找到這種形狀，這種形狀如果離球體“很遠"就不可能是s = i = 1。盡管尋找這種物體很困難，但是通過另一種途徑卻可以構(gòu)造出GOMBOC的形狀。以下的圖示是基于網(wǎng)球的理念。它表面由簡單圖形組成（圓柱，橢圓形，錐形）和平面。顯而易見，這種形狀屬于凸面體。通過數(shù)值積分算出其重心應(yīng)稍低于原先的位置，通過這些事實，我們可以簡單判斷出這個形狀屬于單一單靜態(tài)體。當然，無數(shù)的形狀都可以有這些特性，而以下圖形只是其中的一種。構(gòu)造出來的GOMBOC樣品略有不同：它由很多圖塊組成，這使得穩(wěn)定平衡特性更健全，滾動物體的力學表現(xiàn)更加直觀。1 O& `% k7 h% b9 T5 z
6 g7 ~& t; z/ j* j3 W8 `) f0 e2 g5 U# d7 j8 M
( I7 v% H+ o3 D% P3 R1 L1 W% p
簡單的圖塊拼接到一起構(gòu)成GOMBOC
; o+ N7 s2 P: h7 S: K: m; i2 p: |$ s( L# X# z' {* w% [
1 G# I' F' R+ V5 T
- U" Z) m# t8 N( ] w1 j% y
: h. T1 J9 Y) {( e1 s; N
在R=穩(wěn)定的情況下，GOMBOC的輪廓線能明顯具有網(wǎng)球形狀
7 L- I+ D: S" \7 u: @ |
發(fā)表于 2010-11-15 08:49:53
QQ好友和群
QQ空間
