& J' V. ]& L) R- }- B# x# i- I凸面和均質是GOMBOC (字母O上面有來年各個小點哦)的主要特性。' \, _& M% j3 G6 }- A v
不倒翁是非均質物體擁有GOMBOC一樣行為的簡單例子。& @' _ V3 Y3 j: P0 l
同樣，因為凹面體不能通過表面圓周滾動，也很容易創造出GOMBOC均質凹面體
) {' F+ O3 x: _
/ \# H/ _+ K& q![]() 0 k0 t) Y( D0 l, i- \( p# X
凹面GOMBOC 平面圖.
9 a( f2 ^2 v- \ ~
1 p, ]* A5 |4 p% u只擁有唯一一個穩定平衡點的形狀稱作單靜態體，同時擁有另外一個非穩定平衡點的稱為單一單靜態體。
% q4 \( ? J0 G0 DGOMBOC是第一個凸面均質單一單靜態體。
( s2 K2 o: L, h5 l
; d2 C G& K1 `1 _
; ^8 m! s) L3 U# T平面GOMBOC& J, M; w5 p. E
3 }+ S& X0 R$ r C$ C8 @; e由于物體重心(G)作用，平面凸形在極坐標系中規定為函數R(a)。 * \- ]0 r: {0 u$ ^) b
' w! {# l x; S, I/ X在水平面上，所有物體都朝著重心降低的方向滾動。 R隨著地面降低而變小。 2 f$ C' m P! f: B/ y
9 q5 E, E x- W0 m當dR/da = 0時出現平衡點。R (d2R/da2 > 0)為最小值時，是穩定平衡點，當R（(d2R/da2 < 0)為最大值時，是非穩定平衡點。R最小值后出現轉而最大值，反之亦然。因此，出現穩定平衡點和非穩定平衡點次數相當。另外，下面原理也可以被證明：
, T5 v, @3 i( k! p9 t! e1 u& C3 l- ^9 X/ t" S3 U) I( u
. V- j0 V, Q# Z原理 1:
1 H; y5 x( K$ s7 L) Y所有平面凸均質體至少有2個穩定和2個非穩定平衡點。$ N# {& h" h8 B7 r/ g
& }5 Z& O+ O7 T8 D. f
如果物體只有一個平衡點，相應函數R(a)圖就只能有一個最大值和最小值。
! m4 B+ m8 {; w9 Y- Z用直線 R = R0 將物體分成兩部分，函數 R > R0 和 R < R0 具有相等（(長度 p)水平投影。
% t$ u Q& q/ _# @+ _; Y+ m' L
; N+ F! J4 t! x% ?4 X; U相當于穿過重心G的直線相應把物體切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)兩部分，
) }# n: f0 a' h5 U+ t2 j5 C支撐面沿著直線。
/ {. y L8 c# N6 D( D/ C9 G$ E但是達到平衡的條件是G點不在直線上，應該在厚點的這半部分，這與之前所述G點在直線上相矛盾，由此得出原理1正確。
% }- L/ Q( @. |( b& l( E+ U" ~6 t) F' U2 N8 M
/ [7 w- n) c' P- ^' z7 F: T7 a, t1 O7 |
編號為 R(a)的函數圖（右）以及相對應的物體（左） 8 R* ~& ~9 S8 v8 t) V
正如我們所證明的，不存在平面的GOMBOC型物體。這個令人驚訝的簡單事實是典型數學原理的物理模擬： 3 J/ _. S. a) E/ A2 `1 j* \
四頂點定理:: 一條簡單封閉曲線曲率至少有四個局部極值 + {8 |. ~3 ~9 t G9 w% p/ K
! K5 D+ t4 D- V& R
9 U) E0 C. c" C7 [
有關四頂點定理有眾多的概括和相關幾何定理，有時這些統稱為四頂點定理。
" ~" [( g. U. [+ p+ \如果不存在三維GOMBOC，這個事實將成為四頂點定理家族中的又一新成員。/ V4 G0 N! i: F
4 G" {# N3 ]# F0 p9 k5 R9 V( ]. J有關GOMBOC的基本概念& V% p8 I5 }; C! f4 D
+ V: ?# o3 l1 V! R" B
3 O& j, _9 |* {( z$ i7 y1 K
% T `) m0 i- _4 p類似于平面物體，三維體可以定義為重心作用下球坐標系中的函數R(j,q)1 T- q j! W/ ?
" \4 |1 o* ~3 r, U6 D Y2 ]. [
3 O( V1 V* m" g8 |0 B
$ E% M. s( b4 U3 K/ O! ^; T三維體在球面坐標系中的定義
) Q( w" Q0 A2 Y2 b: m4 x6 q z# p' U
" z4 l7 w& S1 m) U: Q; S區域最小值和最大值R對應穩定平衡點和非穩定平衡點，物體在R的鞍部還有另外一個平衡點。
2 {. @' S3 c4 n. l- {9 h4 R根據龐加萊-霍普夫（Poincaré-Hopf）理論，球體內所有同型物體，在這三種情況下，平衡值（由s, u, t,分別代表）都滿足s + u - t = 2。定理1的三種假定情況：
" \5 f! ^" e* W4 [
3 L* ?% ?* w$ ^
9 X/ P T e: n) H2 P+ m! o% ?0 O' X; U6 Y
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
" a( c% v% `% B" D- R
# b% J. U& p( D& a3 ?
a) 和 b)很容易被駁倒; _9 X) ~4 |- h
s = t = 1, u = 2時，s > 1為否， ( r6 ^) W8 N& U1 R1 R6 u
. }0 u% b8 i, z. e1 @
8 p: r& r1 m' @/ G
/ y% ~ R' V! P% E& ^/ c8 n8 f3 G' [$ Q& T5 G6 A, S' _4 I8 }
- H6 ^: E( I3 S( pi > 1 時 u = t = 1, s = 2
* W% ?4 x( ~3 c% s0 V3 O
6 W( p3 ^: g1 m7 Z I) L' K1 R7 h& i3 M8 E# p' H2 s9 U+ \) s
0 H- _3 [9 n* S( U
7 h+ C) R6 U5 U* v! D8 s0 D, D. W) ]5 ~; H
第三種情況可能性存在于Gömböc本身：是否存在三維凸面均質s = u =1（t=0）的物體？8 F; i5 D/ E' o1 W9 X6 B
我們可以進一步延伸平面理論來證明這種物體存在的不可能性。1 G9 |% B! R# m' f2 Y9 i/ m
假設存在這種形狀物體，對應函數R(j,q)就只能有一個最小值和一個最大值。
0 L+ a( h6 h B a$ c4 s B" ^3 r平面物體用R = R0分割成薄厚相同尺寸的兩部分（以重心點G作為分割，兩部分的空間角度相同）。* H R( e9 C7 o4 h; r
如果切割的線條是平面曲線（如：圓），則得出類似二維體的矛盾。- ^& U# x9 ^6 Y; ^$ |
如果是空間曲線，則是類似網球的曲線。
1 N; A5 ?! U' ^物體分割成上下厚薄兩部分，無法證明G點一定在上半部分。
8 {+ y" K4 m; F3 q* W) i' [7 S由此得出平面理論并不適用于三維體。7 |; w3 N/ o4 B) y
6 k! u8 a; C- j' y0 }+ [: u+ \& U0 g& Q
: O: X: H4 K+ {4 H, B% `- m% ^( g. M* p8 p
分割單一單靜態體厚（黃色）薄（綠色）兩部分的直線是有可能，但并不一定在一個平面上。 + ^$ H# L3 U5 M- B
: I& t6 ?; a5 h4 D/ L7 Q論證的失敗為GOMBOC的空間形狀提供了新的想法。6 k9 _8 r2 R$ V( @4 Y
運用雙參數閉合公式，可以分析出適當參數值得出s = u = 1物體。
# d) Y. [2 W" _( i. V7 F0 o" t受凸面體限制，構造出的物體近似于球體。" S" B6 G1 {6 z4 p- ?6 B A: U
構造出的形狀可以從理論推斷出存在GOMBOC可能性，但是否具有單一單靜態體（從視覺上可以明顯看出）特性仍然是個疑問。
, ^9 t- W5 W( q& }8 E8 G
( w! R' C. n& J/ M% ?% c K3 k( f, O
" D0 [2 O' [6 v! t
( s) s' K. Z1 W8 D* q! n2 O. N2 D& R. Q( q
應用于論證的雙參數物體圖形
6 L; }' t) j6 X2 {4 q5 C# d3 d, `1 d
“真正的"GOMBOC
2 D, ~0 j: E+ e$ w4 U* [: U: |
* ~" z1 P% [+ O# O+ p5 t通過理論論證為什么不能找到一個具有特殊形狀的物體？8 Q# x3 p7 i7 D
是因為論證公式不好還是因為失敗背后隱藏著更深層的原因？
% R. b/ }: n+ O. {% d9 |: y& jGOMBOC具有類似球體的形狀，但在羅得島上2000多個卵石中也沒能找到這種形狀，這種形狀如果離球體“很遠"就不可能是s = i = 1。盡管尋找這種物體很困難，但是通過另一種途徑卻可以構造出GOMBOC的形狀。以下的圖示是基于網球的理念。它表面由簡單圖形組成（圓柱，橢圓形，錐形）和平面。顯而易見，這種形狀屬于凸面體。通過數值積分算出其重心應稍低于原先的位置，通過這些事實，我們可以簡單判斷出這個形狀屬于單一單靜態體。當然，無數的形狀都可以有這些特性，而以下圖形只是其中的一種。構造出來的GOMBOC樣品略有不同：它由很多圖塊組成，這使得穩定平衡特性更健全，滾動物體的力學表現更加直觀。
# s7 i B f |4 n |% ], e' A! |3 u& D" T5 g0 {; i/ j
6 m8 O% b$ R: d8 a# ^( d
0 L$ l2 q# O% |7 J* L$ T+ E7 ^簡單的圖塊拼接到一起構成GOMBOC9 x% I t/ T$ m0 m$ r3 Y
# \2 L# w7 M+ l' a; Q
3 W+ O% ?( n+ O/ O2 @. X7 S
! s: \' P4 h* ^! d; Q! z* Z) w# ^8 \
% Y7 l* v9 s, I2 @( C0 W' b在R=穩定的情況下，GOMBOC的輪廓線能明顯具有網球形狀 , b" j6 h$ }3 S. m1 l
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發表于 2010-11-15 08:49:53
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