一款另類的橢圓規 ---- 外嚙合1:1傳動

火 [復制鏈接]

動靜之機

電梯直達

1^#

發表于 2013-7-6 13:56:53 | 只看該作者 |只看大圖 |倒序瀏覽 |閱讀模式

本帖最后由動靜之機于 2013-7-6 14:20 編輯

這兩天比較愉快。小子連闖兩道關，考上了南外初中。
3千多人抽簽（絕大多數都是有備而來的主），2560人中簽，然后考試，錄取320人，男女各半。

那天考完，出口處所有的孩子都苦著臉出來，說數學太難（出題也用英語）。
俺家的亦是如此，說還有大概20多題沒空做（至少30分沒了，總分150分的卷子）。
不過此次考試沒考這類轉幾圈的題目，呵呵，瞎擔心了：
一個簡單的考題考倒一大片! ---- 續I
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503

一周前，俺發了這個帖子：
怎樣車橢圓
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983

里面提到的德國網站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有這么幾個橢圓規：

這個就是十字滑軌式的，已經在“怎樣車橢圓”帖子里說清楚了。

這個顯然是利用內齒輪嚙合的機構，大小直徑比為2，這也說過了。

對這第三個東東，俺一下子沒看明白。該網站只是說該橢圓規機構
允許在機構旁邊作畫（切割）因此可以作很小的橢圓。

圖片搜索該照片的名稱Kopp-Ellipsograph發現有這么一張圖，簡直一摸一樣：
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）

意味著有相關文章可看，大喜，點擊過去，十幾秒后，頁面終于打開，暈倒。

有人感慨“它認識我，我不認識它”大概就這意思。

不死心，重新搜關鍵詞，找到一個鏈接，對該機構有些許說明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
最下方提到參考書名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
于是搜來（估計是蘇聯圖書的英譯版）。抱歉，11M，就不上傳了。

翻遍全書，發現在105，106頁，有個證明（PS拼接如下）：

這個證明和照片里的橢圓規不太一樣。

好吧，為了安心，也因為今兒個高興，把照片里的機構也畫瓢地證一遍：
設仿形機構放大系數為K，即DC=K*DM，兩個起點都在X軸上且都處在自身
圓心的右側（計算比較方便）。左側齒輪逆時針旋轉，右側順時針旋轉。

對于C點X坐標，分別從r2 r3 兩條路找到關系式：
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x
消去Cosβ參數，得到:
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A

對于C點y坐標，分別從r2 r3兩條路找到關系式：
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ
-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
消去Sinβ參數，得到:
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα    ------------------------ B

把A式和B式綜合起來，就是（但愿全部步驟沒錯

）:

這顯然是個圓心分布于X軸(2k-1)R處，長半軸 (k-1)r2 + kr3 ，短半軸為 (k-1)r2 - kr3 絕對值的橢圓。

α=90度時，兩個驅動臂互為180度，畫出橢圓長半軸最低點。

若起始時，選取的某點已有初始角度，例如左側所取得點已經逆時針轉過180度，右側尚未動，則
意味著兩個驅動臂已經提前達180度角，那么當前畫出的點將是長半軸，而且在X軸上。也就是說，
輸出的橢圓雖然大小完全沒變，但相對于例證，已經轉過90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。

回頭再看看那個滿眼鳥語的維基原圖的證明，就釋然了。

不妨拿這個仿形機構來說明：

這個機構簡直天生為就是兩個復矢量的合成縮放準備的。

公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味著，若左側輸入Za，中間輸入Zb，右側輸出為Zm。
假設Za不動，放大作用使Zm為K倍的Zb，假設Zb不動，則杠桿作用使Zm為k-1倍的Za，
不過由于處于杠桿的兩側，動作相反，因此有個負號。

一般的應用都把其中一個點定死，一個點輸入另一個點輸出，例如某些古老的仿形機床。
日內瓦湖畔的瑞士軍刀小店用的軍刀刻字機，也用這種機構。老板把客人的姓名字母凹
模板（約20x30毫米，厚2毫米）在軌道上排列好，然后用仿形機構縮刻在刀柄上。
只有西文字母可選？嗯，下次誰有機會去的話，先帶上自己名字的中文模板哦。。。

另類