清明節(jié)作業(yè)

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核動力三輪車

電梯直達

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發(fā)表于 2014-4-6 17:17:33 | 只看該作者 |倒序瀏覽 |閱讀模式

本帖最后由核動力三輪車于 2014-4-6 17:21 編輯

清明節(jié)沒有回老家，窗外雨下個不停。自己就在家里宅到現(xiàn)在。清靜的時候最好學習，做了一份作業(yè)，鞏固下基礎，有些收獲和大家分享。

題目來自大學課本，劉鴻文教授寫的《材料力學》第二冊。原題用的是有限差分解法。有限差分法數(shù)學意義很明確，解法也比較簡單。但用過都知道，有限差分法編程不方便。當然，對于簡單的問題，也不一定就要編程。基于假設位移場和最小勢能原理的瑞利里茲法就是一種很好用的方法。在有限元法出現(xiàn)前，和有限差分法一同是很好用的方法。第一張圖里我用的就是瑞利里茲法。這種方法優(yōu)點就是物理意義清楚。但缺點也很明顯，如圖里所示。我只能取自己假設的位移場v(x)的第一項。如果要取第二項，那么計算就會很繁瑣。幸運的是，即便只取第一項，位移的結(jié)果也是足夠精確的。
第二張圖里我用的是有限元法。有限元法可以看作傳統(tǒng)的瑞利里茲法改進。如圖一所示，假設了一個函數(shù)v(x)描述軸的每一點的位移。對于高維問題、復雜結(jié)構(gòu)和復雜邊界條件，就可能需要構(gòu)建極為復雜的場<u(x,y,z,t,f),v(x,y,z,t,f),w(x,y,z,t,f)>描述整個的構(gòu)建。而更要命的是，這個過程必須人工干預，所以是很難實現(xiàn)的。如果能把瑞利里茲法應用在一個簡單的結(jié)構(gòu)中，而想辦法把一個極為復雜的結(jié)構(gòu)分解為若干簡單的結(jié)構(gòu)組合那不就可以保留這種方法的優(yōu)點嗎？這在數(shù)學上的提法叫做分片插值，這就是有限元法的本質(zhì)。有的書說有限元法來自瑞利里茲法，有的書說來自伽遼金法，其實都不妥帖。發(fā)明有限法的目的是為了在計算機上繼續(xù)應用上述兩種方法，這不是要求把算法復雜化，反而是要求把算法簡化，流程化。計算機適合做簡單枯燥的循環(huán)，所以必須把太靈活的傳統(tǒng)方法“簡化”為計算機上可以實現(xiàn)的算法。圖三是最終形成的剛度矩陣。求解過程中要對矩陣進行重排、分塊、求逆、求乘以及后處理。對于這根軸的計算，有限元法大幅增加了計算量，但把人從枯燥的計算和針對復雜對象的不可能任務中解放了出來。
在這道題中，采用的是歐拉粱單元。既然歐拉梁是在xy坐標系中定義的，為什么要用截面轉(zhuǎn)交和撓度描述其變形呢？一個很重要的原因就是這樣做更簡潔。。。由于theta=dy/dx，連續(xù)性條件要求假設的位移場存在一階導數(shù)，而應變能中包含位移場的二階導數(shù)，這要求位移場存在二階導數(shù)。那么，如圖二所示，合適的位移場是三次多項式。當然，也幸好只是三次的，高次的很難處理。
這道題還有其他的解法，比如采用常應變?nèi)切巍曳浅Ｏ雵L試。這可以練習使用形函數(shù)、等參單元，并且可以用到雅可比矩陣。但可以預見的是，即便網(wǎng)格更細密的三角形單元，也很難得到粱單元的精度。這提示我們有限元分析時一定要采用合理的單元類型。還有就是直接積分，大學時這樣干過，寫了好幾頁。當然，伽遼金法也可以。
說了這些，給大家出道題：圖二的底部是節(jié)點位移，怎么從節(jié)點廣義位移得到節(jié)點位移呢？對于這道題，劃分更細密的粱單元，可以得到更精確的結(jié)果嗎？