公理——數學的基礎

掃街

在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明時，因果關系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理。通常公理都很簡單，且符合直覺，如“a+b=b+a”。
不同的系統，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理，和歐氏幾何的公理就有一點不同。比如說我們看歐式幾何。在幾個簡單的公理假設下，我們可以得到一系列的結論，很多是深刻的，甚至是反直覺的。在建立這個模型之后，一個重要的問題就是我們需要幾個公理來建立這個模型。比如歐式幾何的每個公設是可以由其他公理得出的一個定理/結論？還是必須也是一個公理？
比如歐式幾何里“過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行”在很長時間內是不清楚它的位置的，后來發現對于歐式幾何，你可以認為是這個體系的“公理”，只有認定它，才有后來的美妙結論。
0 I1 @- B/ `" L8 `( ^+ O沒有它呢？那時你就進入了另一個模型，你會得到其他的美妙結論：）
% B1 U* S+ r1 M& _  l9 L所以，在不同的公理假設下，我們得到了不同的數學體系，以此為基礎，我們就可以得到對現實和對數學本身的各種模型。這種公理化的一個好處是，當你覺得現在的數學模型并不適合現實，或者并不滿足理論發展需要時，有可能只是你假設了太多的公理前提，換一套公理，換一套前提，你就能得到很不一樣的數學體系，原本的困難可能就很容易解決了。
; O3 w. R( F- X5 ^不證自明性是公理的特點，這也是為什么數學家質疑歐幾里得的第五公設——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當（比如第一條公設：任意兩個點可以通過一條直線連接），而非歐幾何的建立，也正說明了第五公設的不必要性。
從一方面說，公理也可以看作是對于一些一般經驗的總結，這些總結是無可爭議的正確的，還用第一公設說，“任意兩個點可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義，總之兩點之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？），這既符合直覺，也是簡單明確的事實。
9 T- O( U/ p! }" Q9 D$ q' h從數學邏輯的角度，要證明一個定理就要證明導出這個定理的定理，進而要證明導出導出這個定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個定理串，如果這個過程無限回溯顯然是不可接受的，必須要有一些“東西”作為這個定理串的源頭，回溯的過程終止與這個源頭，這個源頭我們就說它是“公理”，當然如果這個源頭與某條已知公理違背，則這一串就都是假命題了。
扯遠了，回到公理上來，形式主義數學家如希爾伯特，就通過建立形式化公理體系，把數學帶到了一個更加嚴密的世界中來了。每一套公理體系中的公理，必須互相獨立，且相容，否則就有矛盾了。所以一個公理背后是一套公理體系，這樣就構成了一套數學的基礎。
數學的圖景也沒有那么統一的，一套非偶的公理體系，就一個非偶幾何空間（當然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學統一了.....可不可以不要這么強大嘛~~）；一個連續統假設，分出兩個數學的世界，
總之公理，公理體系，就是數學的的底樁。
! k! N% ]1 s- m: }% W
- r( f. Z- R( C$ C6 r4 L點評：
那問題就來了，三角形的內角和為什么是180度
! s& t, d5 F1 }2 d; {

鬼魅道長

倒時差中，無聊ing
證明：任意三角形內角和為180°
# Y5 F9 e8 A/ P) K. [. w證：設三角形三端點為A,B,C，其對應邊為a，b，c
" s7 b1 f+ }2 X7 u% D5 _       通過A點做一條直線l，使 l 與邊 a 平行
6 k) e8 l" C/ Y      由平行線定律可知，角BCA與角CAl 相等，角CBA與角BAl 相等
      由圖中可知，角CAl+角BAl+角CAB組成直線l
      由公理：直線夾角180°，
) s" n1 ]  o7 D- r# t/ R: `      可知任意三角形內角和180°
2 q$ Y0 H8 J3 Y& o" j9 M1 a證完

" o+ C) ~, K% r0 [5 c/ u: Pl 是雙向的，所以其實這個證明不完整，懶得再畫圖了，就這樣吧。
今兒個我真閑，哈。

米fans

大蝦好功力

探索號QM

建議大家參考維基百科---球面三角學.
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8

pain

三角形的內角和是180度 是定理而不是公理。
- o2 e' i, R2 Q- w# G! Q4 i: h. a這個不用解釋。

Pascal

還有基本概念也是數學的基礎。
就拿咱們熟悉的歐氏幾何為例，在定義、公理的基礎上，才能推出后面的命題。
定義就是概念。

lglabc2008

學習了

三八大蓋

我怎么記得上中學的時候老師給過證明

405452975

學習！！

樂小白

這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明，前提是認可平行線定理，當然也可以先求證平形線定理。
$ d. v( B# b9 U) v9 D看到樓主的問題讓我想起來高中時候的一個問題：1/3=0.33333…………無限循環根據等式定理兩邊同乘以3得出的是3/3=0.99999999……無限循環，那么問題來了：1=0.99999……無限循環是怎么解釋的？！