求問(wèn)一道數(shù)學(xué)題

陽(yáng)光小院暖茶

有個(gè)題目，想請(qǐng)教：
' G; k2 E% y0 y1 k* t2 h確定所有三元正整數(shù)組（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每個(gè)數(shù)都是2的方冪。（2的方冪是指形如2^n的整數(shù)，其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。）
4 p: T& p# ~6 W9 [8 p! q3 N不知道有沒(méi)有人能做出來(lái)

陽(yáng)光小院暖茶

我已經(jīng)知道了幾組：2,2,2
5 x  W4 R  @" g+ H" F2,2,3
' p& K; G. v& _: p- k: ]- @( p3,5,7
& Q3 k8 D( o  H) _2,6,11
但這個(gè)題目說(shuō)是“所有的”，所以搞不出來(lái)

crazypeanut

這是2015年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題的第二題

crazypeanut

2 W+ e6 i1 L6 {我沒(méi)有能力解答此問(wèn)題，但是，我對(duì)自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

答案是只有唯一解，2，2，2

水水5

首先推測(cè)abc都是2的正整數(shù)次方~
8 w; G, I" ~- s9 k. e假設(shè)abc對(duì)2的冪分別為ABC
則，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
2 D  c. `0 v! n要使結(jié)果為2的正整數(shù)次冪，則A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
( o8 B/ b' B4 y+ O& k% }+ |我解不下去了。

蕭mj

不會(huì)解

陽(yáng)光小院暖茶

crazypeanut 發(fā)表于 2015-8-18 16:12
我沒(méi)有能力解答此問(wèn)題，但是，我對(duì)自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的
3 f7 T0 _9 B+ T& }7 h3 }- c2 |
4 p" k6 q$ _' E" H& u9 K! M答案是只有唯一解，2，2，2
...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因?yàn)槿绻渲幸粋€(gè)是1的話(huà)，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對(duì)相反數(shù)了，不可能同時(shí)為2的方冪。
你驗(yàn)證一下我給出的三元數(shù)組，看看是否符合條件
5 G) X1 d. Z/ M5 t  y

crazypeanut

陽(yáng)光小院暖茶 發(fā)表于 2015-8-18 16:23
大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因?yàn)槿绻渲幸粋€(gè)是1的話(huà)，假設(shè)a為1, 那ab-c和ca-b就是一對(duì)相反數(shù)了 ...

0 J! _, R8 _# R+ d1 w; _& N仔細(xì)看了下，如果不允許出現(xiàn)2的0次冪，那，2，2，2是唯一解；

所以，如果允許出現(xiàn)2的0次冪，那么我們可以增加一個(gè)約束條件，ab-c=1，這樣難度就降低了

yue7261598

數(shù)學(xué)玩 死人

crazypeanut

看這個(gè)吧
, d4 I! {- L6 x0 S+ O4 B4 q7 e
$ h. o. W4 _, v+ |5 f- `. W我確實(shí)解不出，這種有關(guān)整除以及正整數(shù)的題，我都是軟肋



2 |: S: a4 J5 g8 i
2 s: K' [, z' ?. W9 C, i  E9 |