求問一道數學題

陽光小院暖茶

有個題目，想請教：
確定所有三元正整數組（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每個數都是2的方冪。（2的方冪是指形如2^n的整數，其中n是一個非負整數。）
/ F6 W: Q' u9 c. X4 e& j不知道有沒有人能做出來

陽光小院暖茶

我已經知道了幾組：2,2,2
2,2,3
3,5,7
! L8 K. Q) L4 u* {$ x* G- \2,6,11
& Q0 n0 X% M& L/ Q$ C; @+ E但這個題目說是“所有的”，所以搞不出來

crazypeanut

這是2015年國際數學奧林匹克競賽試題的第二題

crazypeanut

8 \2 ?/ {5 S9 ^7 x( M+ ~8 p7 `
* b5 V: Y2 d3 M1 R0 s: b我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的
: T3 h* H- C$ A9 \9 y, r/ `& n7 S
答案是只有唯一解，2，2，2
7 d6 z/ l: M1 [. N4 H# c; s  D" j

水水5

首先推測abc都是2的正整數次方~
假設abc對2的冪分別為ABC
則，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
2 m5 F  a- H( p3 c* {要使結果為2的正整數次冪，則A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
1 X( R5 N3 b5 [1 v4 f那……
( [# F5 ]% X  M/ x5 E我解不下去了。

蕭mj

不會解

陽光小院暖茶

crazypeanut 發表于 2015-8-18 16:12
: E$ L2 f" u, f+ m7 h1 C9 M我沒有能力解答此問題，但是，我對自己的搜索能力有足夠自信，解答是這樣的

答案是只有唯一解，2，2，2
+ Y$ c! ]5 B  N# M3 L/ v5 U ...

大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因為如果其中一個是1的話，假設a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數了，不可能同時為2的方冪。
你驗證一下我給出的三元數組，看看是否符合條件

crazypeanut

陽光小院暖茶 發表于 2015-8-18 16:23
" G: y6 K1 G, K4 }6 n' L大俠，他只是推斷出a,b,c都不小于2吧。因為如果其中一個是1的話，假設a為1, 那ab-c和ca-b就是一對相反數了 ...

仔細看了下，如果不允許出現2的0次冪，那，2，2，2是唯一解；

2 m* n8 A- h. J, e' h所以，如果允許出現2的0次冪，那么我們可以增加一個約束條件，ab-c=1，這樣難度就降低了

yue7261598

數學玩 死人

crazypeanut

看這個吧
! z+ ]  b! S; Y) w
8 ]) M' j+ v$ a/ W+ a# A我確實解不出，這種有關整除以及正整數的題，我都是軟肋

4 q+ n0 i: i: N7 f


% ?' I) r+ W: ~+ N& Q  k4 c; i