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本帖最后由 zerowing 于 2015-12-2 07:32 編輯
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4 R0 P- ^: t3 }1 s9 p" m' O想了想，這個問題可能真的無法歸結到基礎中。但并不能算高端理論。哈哈，只能說鷹大的分類不夠詳細。$ k/ Y" g) M! q v
5 P7 o* r+ w B4 {0 F7 p其實為什么要說這個問題呢，是因為個人在日常的使用中形成的一種體會和總結。數學是一門基礎學科，在各行各業都會用到。工程中也不列外。我們有大量的計算、假設、推到，參變等等等等。所以，作為工程師，擁有一個強大的數學基礎是必要的。這本無可厚非。但是在實際應用中，不得不說，確實存在大量的誤用，并由此導致了很多問題。這些誤用，明顯的最后成了“民科”。不明顯的，很多都成了最后“莫名”的爭論的源頭。但為什么會這樣呢？是因為數學有問題嗎？還是說數學中的東西不能用到實際中？
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這里必須要說，數學是一門極其嚴謹、刻板的學科。既說明數學本身不會錯，亦說明應用數學本身也需要嚴謹、刻板。那為什么會出現前面說的諸多問題呢？答案就是非數學家們在使用數學這個工具中沒有做到嚴謹、刻板的對待解決問題的數學部分！2 L$ v, e, f: }7 N
這時有人就要說了：“你算哪根蔥，你怎么知道別人是不是嚴謹、刻板？我們都是嚴禁、刻板地在推理的，你憑什么質疑？＂
$ }3 I# W3 U5 R2 Y' H' ]" p! C啊！這確實是個很復雜的問題啊。我不是數學家，不是哲學家，不是思想家……總之，一切的這些帽子跟俺都沒關系。但這并不阻礙我們用嚴謹的態度來觀察、描述、解決一個問題。我們舉一個例子吧。這個例子當然也被人用來直接抨擊我。
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我們都知道三角函數，比如存在一個三角函數滿足 sin(α)=a/b; 其中，α∈ [0,pi/2]，a,b∈Ｒ＋； 這個沒有問題吧。那么下面的問題就是，我們能直接變換等式為 b=a/sin(α) 嗎？
. Z9 w+ c$ a4 [9 Z如果能，那我們就必須承認，b=+∞這個結論的客觀性。如果不能，那就代表，我們所認為的，當α——〉0時，b=+∞的假設本身有問題。
0 R" L9 X) O4 W7 s2 \首先，我們從一個最基本的數學來闡述這個問題。等式替換性。
, x4 K6 o2 K& p& K假設：a,b,c∈R，如果存在 a=b, 那么一定存在：
6 k: Q! W& _0 w& x# Ka+c=b+c （廢話，這是小學生就知道的）- B) B( ^6 }/ E
a-c=b-c (你能不廢話嗎？我們比小學生知道的多，減一個正數等于加一個絕對值相等的正數）
. T- H* n! Y. \$ Fa*c=b*c （準備掀桌子砸人）/ \- ]+ |* ^3 W& d
當且僅當 c ≠ 0 時， a/c = b/c （什么？有這么一條嗎？時間太長了，記不清了。）
5 V9 Z1 K3 e, {' ~; [+ W8 y對，其實就是因為記不清了，而我們在基礎以后的學習和使用中習慣性的開始左右無條件同除一個數或參數，甚至干脆直接將一個數或參數無條件的從等號的一側變到等號的另一側作為分母。而我們必須知道，我們可以這么做的前提是什么？3 s: E" G& ^2 Z$ D# N. h& N
所以，當我們回到上面那個問題上，既然從 sin(α)=a/b 到 b=a/sin(α)時，sin(α)可能是0，那么我們根本就不能得到b=+∞這個結論！7 {8 k' P3 ?1 U& r4 Q: G2 [5 @
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其實這段本是被我刪掉的。但是想想還是貼上來吧。是否正確，諸君多考慮。
% M* k6 M: ?1 w4 A) G+ |4 Y我們先不糾結等式替換性的問題。我們還是說那個極限。
: E& Q+ t& J5 S2 I! b假設，我們真的遇見一個函數，b=a/sin(α)。那么當α->0時，b的情況如何呢？& ^$ k, A- @3 a4 G" s" a- T( n+ z0 O! z
于是大學生跳出來了，當α->0時，lim sin(α)=0， 所以，b=a/0，應該是無窮大。
. W e/ a$ g: S! s所以，問題又來了。當我們說一個函數的極限的時候，能不能直接躲開其中的常數呢？
& M) B" ?0 p/ q$ f6 Q我們來看，如果求lim b (α->0），那么就等于求 lim a/sin(α) (α->0）。這個沒有問題。: ^# X" L5 m: G5 q; R3 _4 B+ r
但是從 lim a/sin(α) (α->0）到 a / lim sin(α) (α->0）。這又是不能輕易寫出來的。8 T$ M5 y, ~" A0 m, `/ K* h+ _2 p
原因很簡單啊，極限的定義是強調函數收斂，很顯然，sin(α) 在 α=0 處收斂。但，sec(α) 在α=0 處是完全發散的。也就是說，在這個計算過程中，我們又非常容易的滑進了另外一個疏漏之中。我們可以求出一個收斂函數的極限，但對發散的函數無能為力啊。
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9 o5 R- l+ Q7 t7 G! v" P, Q( l6 ~好吧。。。也許還有很多。我們不一一甄別了。我想說的不是這個問題的正確性。我只是想提醒大家，我們對于數學的應用，很大程度上存在這樣或那樣的遺漏。而這些遺漏使得我么最后的計算結果并不可靠。而這些不可靠會成為爭執的源頭。; f3 N V) v0 Z1 o p8 q$ @8 Y
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“且慢，且慢。不要離席。”我們說了這么多，可不是為了說明大家的遺漏或者疏忽。我們是要談和工程的統一。而這部分是希望大家探討的。我無法給出一個正確的答案，只是提出我的想法和觀點。等待高人的參與。: C' e* [8 m* C& F8 ^1 q0 }
對于，工程應用，我們可以肯定的一個前提就是，你希望你應用的結果最后一定是唯一的。而不是可以這樣也可以那樣的。這么說不是限制你設計的功能單一性，而是限定其中的不確定性。比如發動機一打火，既可能正轉，也可能反轉。這種二元性是不可能被希望的。因此，在這個前提上，我們可以做如下一個推理。9 t# @. h) T" a ^2 I! h4 _3 K/ d: ^ A/ l
我們假設我們設計參綜合序列為一個集合 {Xn}, 我們的設計方法、結構等為計算函數 f(x)， 而得到的結果為 另一個集合{Yn}。 那么一定存在 {Xn} -> f(x) -> {Yn}。換句話說，通過一個函數表達，參數序列中的每一組參數都對應唯一的一個結果（Yn值）。而同樣的，對于一個固定的f(x)，每一個 {Yn}值，也一定存在一組來自 {Xn}的參數能得到它。換句話說，{Xn} 雙射于{Yn}。也就是說，我們的設計參數序列集合同我們的設計結果集合是等勢的。
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, ~8 s' N" H: V* I. Q. S/ B6 ]我不知道這樣一個假設的完備性如何。但如果其是完備的，那么一定會對我們使用帶來促進意義。壇子里有很多數學方面的大俠。如果有興趣，希望能看到各位的討論。無論結果如何，都將是一件很有意義的事兒。
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發表于 2015-12-2 06:16:19
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