讀書筆記之三---謹(jǐn)慎使用傳遞性

Pascal

1 j+ C9 E" M2 p% s: [7 L  H
4 x  M* C2 L; k" A9 L: c# ^這是筆記系列之三。

之一是
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=362805

之二是

3 o7 y0 N& l, q+ ^% @5 shttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=364734

1.在數(shù)學(xué)中，我們普遍使用傳遞性，如在實數(shù)范圍內(nèi)

a=b,b=c,則a=c

a>b, b>c,則a>c

0 C) @" B1 a0 w

2.但在現(xiàn)實生活中，使用傳遞性則要謹(jǐn)慎。

讓我們看看這個問題：有一個2人游戲，甲乙二人來玩，每個人獲勝的概率都是50%，也就是說此游戲?qū)滓叶藖碚f是公平的；同樣，此游戲?qū)σ冶藖碚f也是公平的。我們能否推導(dǎo)出---此游戲?qū)妆藖碚f也是公平的？

3. 答案是否定的---即此游戲?qū)妆藖碚f不一定是公平的。

4. 我們可以考察以下例子，比如說這是一個扔硬幣的游戲，以硬幣向上的數(shù)字大小定輸贏，即比較硬幣上面的數(shù)字，數(shù)字大的贏。硬幣非常薄，也就是說硬幣不會立在桌子上。

A.甲的硬幣一面是數(shù)字7，一面是數(shù)字3；乙的硬幣一面是數(shù)字9，一面是數(shù)字1。乙如果扔出9，必勝；扔出1則必輸，因此乙獲勝的概率是50%，同樣甲獲勝的概率也是50%，即此游戲?qū)滓叶藖碚f是公平的。

B.丙的硬幣一面是數(shù)字6，一面是數(shù)字2；我們同理可得乙獲勝的概率是50%，同樣丙獲勝的概率也是50%，即此游戲?qū)σ冶藖碚f也是公平的。

C.但是，如果甲丙2人來玩，會發(fā)生什么情況呢？游戲還是公平的嗎？

伏虎降龍

離散變量，好像是不公平。
但是如果是連續(xù)變量呢？根據(jù)“實數(shù)集”那些理論，是否會導(dǎo)出公平？
# n7 a8 m) t# `$ g; e- O請大蝦分析。

原諒我今天

這個……用斗獸棋來解釋不是更形象嗎？

Pascal

伏虎降龍 發(fā)表于 2014-8-16 21:54
2 L: F. O: \- ^5 G2 c! H離散變量，好像是不公平。
但是如果是連續(xù)變量呢？根據(jù)“實數(shù)集”那些理論，是否會導(dǎo)出公平？
請大蝦分析 ...

如果是同樣的概率分布，但數(shù)學(xué)期望值不同的話，還是不公平的。

Pascal

我們看看甲丙2人來玩，會發(fā)生什么。
丙扔數(shù)字2，則必輸；扔數(shù)字6，有一半機(jī)會贏。考慮到扔2、6機(jī)會是一樣的，就是說甲丙玩這個游戲，丙贏的概率只有25%，而甲贏的概率有75%。
+ U; V. V' L' {, k: t! N# s4 y所以，對甲丙二人來說，這不是一個公平游戲。

Pascal

或者我們還可以讓題目更簡單點(diǎn)，乙的硬幣不變，還是數(shù)字9和1；
甲硬幣變成數(shù)字7和6，丙硬幣變成數(shù)字4和3。
對甲乙來說，還是一個公平游戲，勝率各一半；對乙丙來說，也是一個公平游戲，勝率各一半。
只是如果甲丙來玩的話，甲總是贏，丙總是輸，這就是個絕對不公平的游戲了。

122747557

能用傳遞性的都是要在同一性質(zhì)下的吧！

Pascal

上面說了公平不能傳遞，“原諒我今天”大俠還提到了足球、斗獸棋的例子。
# u# m( d0 G1 o$ _2 w: h2 ~下面我們來看看不等量--經(jīng)濟(jì)學(xué)上叫偏好--能否傳遞。
5 z- X+ w8 Y5 k# ^& i/ d1. 華夏國某鎮(zhèn)為推廣旅游經(jīng)濟(jì)，想選一個鎮(zhèn)花出來，經(jīng)過充分的調(diào)查研究，相關(guān)部門推出了3種候選花---油菜花、杜鵑花和桂花。
& H  S+ R& X1 _2. 選舉人為該鎮(zhèn)全體居民，并且我們還假定，對每個人來說，偏好可以傳遞；即如果某人喜歡油菜花多于杜鵑花、喜歡杜鵑花多于桂花，那么此人必定喜歡油菜花多于桂花。也就是說個體選擇有傳遞性。
3. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)有2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，有2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
% q$ W, S/ v& w" h* l; w4 d$ p( g% c! @4. 能否得出結(jié)論---這次鎮(zhèn)花選舉中油菜花將勝出？

Pascal

能否得出結(jié)論---這次鎮(zhèn)花選舉中油菜花將勝出？
+ |8 l& u& W6 \* w1 H還真不一定。

' w( _+ T! |' w8 ]3 y! Y$ c7 E1. 比如該鎮(zhèn)有1/3居民對花的偏好是最喜歡油菜花，其次杜鵑花，最后桂花；我們把這個群體稱為A群（油菜花，杜鵑花，桂花）。
   有1/3居民對花的偏好是最喜歡杜鵑花，其次桂花，最后油菜花；我們把這個群體稱為B群（杜鵑花，桂花，油菜花）。
" I% D  O/ F6 _1 X8 ]1 `. @   有1/3居民對花的偏好是最喜歡桂花，其次油菜花，最后杜鵑花；我們把這個群體稱為C群（桂花，油菜花，杜鵑花）。
$ E6 p% `& S' I1 c2. 現(xiàn)在油菜花PK杜鵑花，A、C都是喜歡油菜花多于杜鵑花，只有B不是；即2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花。
; V% f' ~* {9 o8 w- ^/ O   杜鵑花PK桂花，A、B都是喜歡杜鵑花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
3. 是不是就可以認(rèn)為該鎮(zhèn)居民最喜歡油菜花了？別急，我們再來桂花PK油菜花。
   桂花PK油菜花，B、C都是喜歡桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
4. 2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花，2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
* H1 D0 A7 t9 ^  V5 |" a, G   即油菜花優(yōu)于杜鵑花，杜鵑花優(yōu)于桂花，而桂花又優(yōu)于油菜花！
+ e# V2 h' p9 H2 B$ Y   怎么會這樣！形成連環(huán)套了。
2 t. ^3 F. o$ j9 f4 _! _/ [% ]   

crazypeanut

不同的樣本空間不能混為一談