讀書筆記之三---謹(jǐn)慎使用傳遞性

Pascal

4 R. b6 y3 P" O( n這是筆記系列之三。
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% j- r8 t4 n! A$ i1 D8 t1 t之一是
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之二是

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1.在數(shù)學(xué)中，我們普遍使用傳遞性，如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

a=b,b=c,則a=c

a>b, b>c,則a>c

( B& L6 [. r9 M# N  E, j

2.但在現(xiàn)實(shí)生活中，使用傳遞性則要謹(jǐn)慎。

讓我們看看這個(gè)問題：有一個(gè)2人游戲，甲乙二人來玩，每個(gè)人獲勝的概率都是50%，也就是說此游戲?qū)滓叶藖碚f是公平的；同樣，此游戲?qū)σ冶藖碚f也是公平的。我們能否推導(dǎo)出---此游戲?qū)妆藖碚f也是公平的？

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3. 答案是否定的---即此游戲?qū)妆藖碚f不一定是公平的。

5 U( E7 Q5 S/ O& {3 Y

4. 我們可以考察以下例子，比如說這是一個(gè)扔硬幣的游戲，以硬幣向上的數(shù)字大小定輸贏，即比較硬幣上面的數(shù)字，數(shù)字大的贏。硬幣非常薄，也就是說硬幣不會(huì)立在桌子上。

A.甲的硬幣一面是數(shù)字7，一面是數(shù)字3；乙的硬幣一面是數(shù)字9，一面是數(shù)字1。乙如果扔出9，必勝；扔出1則必輸，因此乙獲勝的概率是50%，同樣甲獲勝的概率也是50%，即此游戲?qū)滓叶藖碚f是公平的。

B.丙的硬幣一面是數(shù)字6，一面是數(shù)字2；我們同理可得乙獲勝的概率是50%，同樣丙獲勝的概率也是50%，即此游戲?qū)σ冶藖碚f也是公平的。

C.但是，如果甲丙2人來玩，會(huì)發(fā)生什么情況呢？游戲還是公平的嗎？

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伏虎降龍

離散變量，好像是不公平。
/ z. M1 W9 x1 I  a2 C  ?# }  a; P4 W但是如果是連續(xù)變量呢？根據(jù)“實(shí)數(shù)集”那些理論，是否會(huì)導(dǎo)出公平？
請(qǐng)大蝦分析。

原諒我今天

這個(gè)……用斗獸棋來解釋不是更形象嗎？

Pascal

伏虎降龍 發(fā)表于 2014-8-16 21:54
離散變量，好像是不公平。
但是如果是連續(xù)變量呢？根據(jù)“實(shí)數(shù)集”那些理論，是否會(huì)導(dǎo)出公平？
- |2 [' n$ @$ o$ C; R+ q請(qǐng)大蝦分析 ...

如果是同樣的概率分布，但數(shù)學(xué)期望值不同的話，還是不公平的。

Pascal

我們看看甲丙2人來玩，會(huì)發(fā)生什么。
丙扔數(shù)字2，則必輸；扔數(shù)字6，有一半機(jī)會(huì)贏。考慮到扔2、6機(jī)會(huì)是一樣的，就是說甲丙玩這個(gè)游戲，丙贏的概率只有25%，而甲贏的概率有75%。
" t$ F( \7 f1 K所以，對(duì)甲丙二人來說，這不是一個(gè)公平游戲。

Pascal

或者我們還可以讓題目更簡(jiǎn)單點(diǎn)，乙的硬幣不變，還是數(shù)字9和1；
7 b! Z& L. t; k甲硬幣變成數(shù)字7和6，丙硬幣變成數(shù)字4和3。
對(duì)甲乙來說，還是一個(gè)公平游戲，勝率各一半；對(duì)乙丙來說，也是一個(gè)公平游戲，勝率各一半。
0 Z+ W  z( k' F% p' v只是如果甲丙來玩的話，甲總是贏，丙總是輸，這就是個(gè)絕對(duì)不公平的游戲了。

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能用傳遞性的都是要在同一性質(zhì)下的吧！

Pascal

上面說了公平不能傳遞，“原諒我今天”大俠還提到了足球、斗獸棋的例子。
2 G, i1 @& D$ W6 B9 a下面我們來看看不等量--經(jīng)濟(jì)學(xué)上叫偏好--能否傳遞。
( `7 l* _  G6 f. P( A+ |9 Z1. 華夏國某鎮(zhèn)為推廣旅游經(jīng)濟(jì)，想選一個(gè)鎮(zhèn)花出來，經(jīng)過充分的調(diào)查研究，相關(guān)部門推出了3種候選花---油菜花、杜鵑花和桂花。
8 g; m; ]" }) I0 d* {! j8 `& w2. 選舉人為該鎮(zhèn)全體居民，并且我們還假定，對(duì)每個(gè)人來說，偏好可以傳遞；即如果某人喜歡油菜花多于杜鵑花、喜歡杜鵑花多于桂花，那么此人必定喜歡油菜花多于桂花。也就是說個(gè)體選擇有傳遞性。
3. 經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)有2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，有2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
& P& B. y) w4 a0 a2 `+ a* T7 L4 N4. 能否得出結(jié)論---這次鎮(zhèn)花選舉中油菜花將勝出？

Pascal

能否得出結(jié)論---這次鎮(zhèn)花選舉中油菜花將勝出？
9 w! ^' F' }' q" D5 U還真不一定。
# e2 x: W# r5 W# F. G- c
; ?+ i# H- d9 u1. 比如該鎮(zhèn)有1/3居民對(duì)花的偏好是最喜歡油菜花，其次杜鵑花，最后桂花；我們把這個(gè)群體稱為A群（油菜花，杜鵑花，桂花）。
   有1/3居民對(duì)花的偏好是最喜歡杜鵑花，其次桂花，最后油菜花；我們把這個(gè)群體稱為B群（杜鵑花，桂花，油菜花）。
, `- ~9 v0 G1 t3 E: p$ o! A7 @   有1/3居民對(duì)花的偏好是最喜歡桂花，其次油菜花，最后杜鵑花；我們把這個(gè)群體稱為C群（桂花，油菜花，杜鵑花）。
2. 現(xiàn)在油菜花PK杜鵑花，A、C都是喜歡油菜花多于杜鵑花，只有B不是；即2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花。
: k8 |) c/ ?  ?  z   杜鵑花PK桂花，A、B都是喜歡杜鵑花多于桂花，只有C不是；即2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花。
3. 是不是就可以認(rèn)為該鎮(zhèn)居民最喜歡油菜花了？別急，我們?cè)賮砉鸹≒K油菜花。
   桂花PK油菜花，B、C都是喜歡桂花多于油菜花，只有A不是；即2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
4. 2/3的居民喜歡油菜花多于杜鵑花，2/3的居民喜歡杜鵑花多于桂花，2/3的居民喜歡桂花多于油菜花。
   即油菜花優(yōu)于杜鵑花，杜鵑花優(yōu)于桂花，而桂花又優(yōu)于油菜花！
+ X( g% O, X) |   怎么會(huì)這樣！形成連環(huán)套了。
   

crazypeanut

不同的樣本空間不能混為一談