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唱片、齒輪、鸚鵡螺和數(shù)學(xué)家有什么共同點(diǎn)？答案是他們都熱愛螺線。 ![]()
' g) R5 D0 C* l# \: j5 {/ w& x阿基米德螺線和三等分角 數(shù)學(xué)家對(duì)螺線的探索最早可以追溯到古希臘時(shí)代，阿基米德就在他的著作《論螺線》中對(duì)等速螺線的性質(zhì)做了詳細(xì)的討論，于是后世的數(shù)學(xué)家們也把等速螺線稱為“阿基米德螺線”。（最早發(fā)現(xiàn)等角螺線的其實(shí)是阿基米德的老師柯農(nóng)，在他死后阿基米德繼承了他的工作。） 什么是阿基米德螺線呢？想象有一根可以繞著一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)桿，有一只小蟲沿著桿勻速向外爬去。當(dāng)長(zhǎng)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候小蟲畫出的軌跡就是阿基米德螺線。阿基米德螺線的方程寫成極坐標(biāo)形式就是 ρ = aθ。 ![]() 阿基米德螺線生活中隨處可見。在早期的留聲機(jī)中，電機(jī)帶動(dòng)轉(zhuǎn)盤上的唱片勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，沿著一條直線軌道勻速向外圈移動(dòng)的唱頭在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺線。同理，由勻速盤香機(jī)生產(chǎn)出來的盤狀蚊香也是阿基米德螺線的形狀。等螺距的螺釘從釘頭方向看去也是阿基米德螺線。就連縫紉機(jī)中也有阿基米德螺線出沒，一般的機(jī)械縫紉機(jī)中有一個(gè)凸輪，手輪旋轉(zhuǎn)的時(shí)候用來帶動(dòng)縫紉針頭直線運(yùn)動(dòng)，這個(gè)凸輪的輪廓就是把阿基米德螺線的一部分經(jīng)過對(duì)稱得到的。 一個(gè)很有趣的事情是，在阿基米德螺線的配合下，尺規(guī)就能完成三等分一個(gè)任意角θ。步驟如下： 1、將θ角的一邊與極軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合2、延長(zhǎng)角的另一邊與阿基米德螺線交于A3、尺規(guī)三等分OA得到三等分點(diǎn)B’、C’4、分別以O(shè)B’、OC’為半徑，O為圓心畫圓交螺線于B、C5、根據(jù) ρ=aθ 容易證得OB、OC三等分θ![]() 當(dāng)然，只利用尺規(guī)是無法畫出阿基米德螺線的，所以我們大可不必?fù)?dān)心關(guān)于尺規(guī)三等分任意角不可能的證明就此被推倒。
7 }, o/ Z( |% ?; h, }漸開線和機(jī)械齒輪 另一種有名的螺線叫做漸開線。當(dāng)一根繩沿著另一曲線繞上或脫下時(shí)，它描出一條漸伸線。許多曲線都有自己的漸開線，把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)定圓上，拉開繩子的一端并拉直，使繩子與圓周始終相切，繩子端點(diǎn)的軌跡就是圓的漸開線。 ![]() 與阿基米德螺線相比，漸開線在日常生活中出場(chǎng)的機(jī)會(huì)似乎要少一點(diǎn)，但仔細(xì)尋找還是能發(fā)現(xiàn)它的蹤跡，例如棕櫚等一些植物葉尖的輪廓就是漸開線。其實(shí)它還在機(jī)械設(shè)備中發(fā)揮著重要的作用，機(jī)械設(shè)備用于傳動(dòng)的齒輪中，就活躍著漸開線的身影。早在 1694 年，法國(guó)學(xué)者就討論了把漸開線作為齒輪齒形的可能性。 1765 年，歐拉對(duì)相嚙合的一對(duì)齒輪齒形曲線的曲率半徑和曲率中心位置的關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算，認(rèn)為漸開線相當(dāng)適合作為齒輪的齒形。與其他齒形相比，漸開線齒形具有傳動(dòng)平穩(wěn)、兩輪中心距允許有一定的安裝誤差等等優(yōu)點(diǎn)。目前工業(yè)中漸開線齒輪被廣泛應(yīng)用，占到世界齒輪市場(chǎng)的 90% 以上。 ![]() 漸開線齒輪 4 I) b9 Z1 l: C! G2 |( {+ o: h+ ~
伯努利和大自然都愛等角螺線 下面出場(chǎng)的是螺線家族中名氣最大的——等角螺線。它的名字來源于一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題：試找出一條曲線，在任意點(diǎn)處的矢徑與切線的夾角為定值。這一問題最終于 1683 年被笛卡爾解決。使用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的微積分和笛卡爾的坐標(biāo)系，我們很容易就能知道等角曲線的極坐標(biāo)方程：ρ = e aθ 。由于在方程中出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)，這一螺線也被稱為對(duì)數(shù)螺線。 等角螺線還與一道著名的趣味物理題有關(guān)：三只小狗分別從一個(gè)等邊三角形的三點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度相互追逐，當(dāng)它們?cè)谌切沃行南嘤鰰r(shí)，所畫出的軌跡就是等角螺線。一個(gè)很少被注意的有趣現(xiàn)象是，他們將在有限時(shí)間內(nèi)相遇，但是相遇之前已經(jīng)圍著中心繞了無數(shù)圈! ![]() 等角螺線 等角螺線具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，著名數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利就是等角螺線的一個(gè)狂熱粉絲。他對(duì)等角螺線進(jìn)行了許多研究，發(fā)現(xiàn)等角曲線在反演、求漸屈線、求垂足曲線、等比例放大等等變換后仍然是原先的等角曲線。對(duì)于這些性質(zhì)伯努利感到十分驚訝，決定把等角曲線作為自己的墓志銘，還加上了一句話“Eadem mutata resurgo.”這句話有各種不同的翻譯版本，大意是“縱然改變，仍然故我”（也有一些版本的翻譯類似“改變之后，我將原地復(fù)活”）。但是滑稽的是為他雕刻墓碑的工匠也許是文化水平不高，也許就是嫌麻煩，最后給墓碑上雕刻的圖竟是毫不相關(guān)的阿基米德螺線。伯努利若九泉有知，怕是要死不瞑目了。 ![]() 等角對(duì)數(shù)螺線的除了伯努利還有大自然?？赡苁怯捎谒冉堑奶匦裕冉锹菥€是自然界中最常見的螺線。向日葵的和其他一些植物的種子在花盤上排列出的曲線就是等角曲線，這樣每顆種子受到周圍其他種子所分泌生長(zhǎng)素的抑制作用可以達(dá)到最小，同時(shí)當(dāng)它們長(zhǎng)大時(shí)可以保持形狀不變。蕨類植物和其他一些植物的嫩葉也蜷曲成對(duì)數(shù)曲線的形狀。 ![]() 向日葵的花盤，能看出等角螺線嗎 ![]() 對(duì)數(shù)曲線形狀的嫩芽 除了植物界，動(dòng)物界也有不少等角螺線。鸚鵡螺的螺殼曲線就是等角螺線，這是由于鸚鵡螺在生長(zhǎng)時(shí)內(nèi)圈與外圈分泌石灰質(zhì)的量總為一定值造成的，同理鷹嘴和鯊魚的背鰭也是對(duì)數(shù)螺線的形狀。法國(guó)博物學(xué)家，《昆蟲記》作者 讓-亨利•法布爾曾經(jīng)注意到，蜘蛛結(jié)出的網(wǎng)上也有對(duì)數(shù)螺線出沒，對(duì)此他興趣大發(fā)，在《蜘蛛的一生》中增加了專門的一篇，討論對(duì)數(shù)螺線的數(shù)學(xué)性質(zhì)和它對(duì)自然界的影響。甚至“對(duì)數(shù)螺線”這個(gè)名字就是法布爾叫響的。另外人們發(fā)現(xiàn)，飛蛾撲火與老鷹盤旋也都是沿著對(duì)數(shù)螺線的軌跡移動(dòng)。 但是和接下來的銀河系相比，以上的例子都“弱爆了”。天文學(xué)家觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，渦旋狀星云的旋臂形狀與等角螺線十分相似，銀河系的四大旋臂就是傾斜度為 12° 的等角螺線。 ![]()
9 N: E% M) `6 }1 N其他的螺線 除此之外，數(shù)學(xué)家們還找出了各種奇形怪狀的非主流螺線，例如極坐標(biāo)方程 r 2 = θ 描述的連鎖螺線，它不是常見的一支，而是對(duì)稱的兩支。更為怪異的是歐拉螺線，它有兩個(gè)中心，埃舍爾的一副作品就是以此為主題的。 ![]() 歐拉曲線 數(shù)學(xué)界是如此地?zé)釔勐菥€，以至于衡量一個(gè)數(shù)學(xué)家是否足夠牛逼的簡(jiǎn)單的方法就是看看是否存在以他命名的螺線。那死理性派又為什么對(duì)螺線情有獨(dú)鐘呢？這就正像法布爾總結(jié)的那樣：“幾何，以及面積的和諧支配著一切?！甭菥€背后精準(zhǔn)優(yōu)雅的規(guī)律，無疑讓一代又一代的人為之癡迷。
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發(fā)表于 2016-1-8 14:24:54
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